Cho \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\) là một nghiệm của \(\sqrt[n]{1}\). Ma trận vuông F_n = ( fk,j ) cấp n, với f_k,j=z^{(k−1).(j−1)} được gọi là ma trận Fourier. Phép nhân F_n . X được gọi là phép biến đổi Fourier. Tìm biến đổi Fourier của vecto X = ( 2, −1 )^T

Cho \(M = {( 1 , 1 , 0 ) , ( 2, 1 , 3 ) , ( 1 , 0, 3 ) }\) là tập sinh của không gian vecto V. Tim m để \({( 3, 1 , 6 ) , ( 1 ,2, m) }\) là cơ sở của V.

Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&2\\ 2&2 \end{array}} \right]\). Đặt \(B= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 1&1 \end{array}} \right]\). Tính A¹⁰⁰.

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} + {\rm{ }}my{\rm{ }} + {\rm{ }}mz{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\ mx{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}mz{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\ mx{\rm{ }} + {\rm{ }}my{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}m \end{array} \right.\)

Tập hợp tất cả các số phức \(\left| {z + 4i} \right| = \left| {z - 4} \right|\) trong mặt phẳng phức là:

Cho A là ma trận vuông cấp n với \(n \ge 2\)

Ma trận nào sau đây khả nghịch?

Cho \(f(x) = {x^2} + 3x - 5;A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0&0\\ 4&1&0\\ { - 1}&3&1 \end{array}} \right]\). Tính det( (f(A))⁻¹) .

Cho vecto đơn vị. Đặt I - u. u^T, vecto X = (1,-2,1)^T. Tính (I - u. u^T).X. Phép biến đổi (I - u. u^T) là phép chiếu vecto X lên mặt phẳng P là mặt phẳng qua gốc O nhận u làm vecto pháp tuyến.

Cho \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \frac{\pi }{6}}&{ - \sin \frac{\pi }{6}}\\ {\sin \frac{\pi }{6}}&{\cos \frac{\pi }{6}} \end{array}} \right],X = \in {M_{2 \times 1}}\left[ R \right]\). Thực hiện phép nhân AX, ta thấy:

Tính định thức: \(\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&5&1&3\\ 3&2&{ - 1}&4\\ { - 2}&1&0&5\\ 5&7&2&{ - 2} \end{array}} \right|\)

Cho \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 5&1&0\\ { - 2}&1&2 \end{array}} \right)\) và \(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2&1\\ 0&1&4\\ 0&0&1 \end{array}} \right)\). Tính det(2AB).

Trong \(\mathop R\nolimits_2\) có 2 cơ sở  E = { (1,1) , (2,3)} và  F = {(1,-1) , (1,0)}. Biết rằng tọa độ của x trong cơ sở E là (-1,2).Tìm tọa độ của x trong cơ sở F.

Tìm tất cả giá trị thực m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\ 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}4y{\rm{ }} + {\rm{ }}8z{\rm{ }} = {\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }}\\ 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}6y{\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {{\rm{ }}{m^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }}} \right){\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}5 \end{array} \right.\)

Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Vết của ma trận A^T.A là chuẩn Frobenius của ma trận A. Tìm chuẩn Frobenius của ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&6\\ 2&1&7\\ { - 2}&5&3 \end{array}} \right).\)

Cho \(V =<(1 , 1 ,1 ) , ( 2,1 , 0 ) , ( 5, 3, 1 ) >\). Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Tính định thức: \(\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {i + 1}&{2i}&{2 + i}\\ 1&{ - 1}&0\\ {3 - i}&{1 - i}&{4 + 2i} \end{array}} \right|\) với \({i^2} = - 1.\)

Tìm tất cả m để tất cả nghiệm của hệ (I) là nghiệm của hệ (II) 

Hệ (I) \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 2z = 0{\rm{ }}\\ 3x + 4y + 6z = 0{\rm{ }}\\ 2x + 5y + mz = 0 \end{array} \right.\)

Hệ (II) \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + 2z = 0{\rm{ }}\\ 2x + 3y + 4z = 0{\rm{ }}\\ 5x + 7y + 10z = 0 \end{array} \right.\)

Với giá trị nào của k thì \(M = {(1 , 1 ,1 ) , ( 1 ,2, 3 ) , ( 3, 4,5 ) , ( 1 , 1 , k) }\) không sinh ra R₃?

Giải phương trình: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&1&1\\ 3&2&1&4\\ 1&0&{ - 1}&1\\ { - 1}&1&2&x \end{array}} \right| = - 3\)

Tính \(A=\left\lfloor {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + i}&{3 + 2i}\\ {1 - 2i}&{4 - 1} \end{array}} \right\rfloor\) với \(\mathop i\nolimits^2 \)=-1