Cho \(V =< ( 1 , 1 ,1 ) ; ( 2, −1 , 3 ) ; ( 1 , 0,1 ) >\). Với giá trị nào của m thì \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{\rm{ }}4,{\rm{ }}3,{\rm{ }}m} \right){\rm{ }} \notin {\rm{ }}V.\)

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau vô số nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + 2z = 2{\rm{ }}\\ 2x + y + 3z = 5{\rm{ }}\\ 3x + my + 7z = m + 2 \end{array} \right.\)

Trong không gian vecto R³ cho các ba vecto \( x_1 = ( 2, 1 , −1 ), x_2 = ( 3,2, 1 ), x_3 = ( 3, m, 1 )\). Với giá trị nào của m thì x₃ là tổ hợp tuyến tính của x₁ và x₂?

Cho số phức z có module bằng 5. Tìm module của số phức \(w = \frac{{z.{i^{2006}}}}{{\overline z }}\)

Tính \(z = \frac{{{{(1 - i)}^9}}}{{3 + i}}\)

Cho số phức \(z = 1 + 2i\). Tính \(z^5.\)

Cho ma trận A = (a_jk), cấp 3, biết a_jk = i^j+k, với i là đơn vị ảo. Tính det(A).

Tính \(z = \frac{{1 + 3i}}{{2 - i}}\)

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau vô nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x + 3y + z = - 1\\ - 2x - 6y + (m - 1)z = 4\\ 4x + 12y + (3 + {m^2})z = m - 3 \end{array} \right.\)

Tìm tất cả m để hệ sau vô nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x + 3y + z = - 1{\rm{ }}\\ 2x + 6y + \left( {1 - m} \right)z = 0{\rm{ }}\\ 2x + 6y + \left( {{m^2} + 1{\rm{ }}} \right)z = m{\rm{ }} - {\rm{ }}3 \end{array} \right.\)

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau chỉ có nghiệm bằng không

\(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} - {\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} - {\rm{ }}2t{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} + {\rm{ }}mt{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ 4x{\rm{ }} + {\rm{ }}5y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} + {\rm{ }}mt{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \end{array} \right.\)

Tìm định thức (m là tham số) \(\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&1\\ 0&1&0&1\\ 2&m&4&1\\ 0&3&0&5 \end{array}} \right|\)

Cho vecto đơn vị. Đặt I - u. u^T, vecto X = (1,-2,1)^T. Tính (I - u. u^T).X. Phép biến đổi (I - u. u^T) là phép chiếu vecto X lên mặt phẳng P là mặt phẳng qua gốc O nhận u làm vecto pháp tuyến.

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} + {\rm{ }}my{\rm{ }} + {\rm{ }}mz{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\ mx{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}mz{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\ mx{\rm{ }} + {\rm{ }}my{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}m \end{array} \right.\)

Cho \(A \in {M_{3 \times 4}}\left[ R \right]\). Sử dụng phép hai phép biến đổi sơ cấp theo liên tiếp: cộng vào cột thứ 3, cột 2 đã được nhân với số 2 và đổi chỗ cột 1 cho cột 2. Phép biến đổi trên tương đương với nhân bên phải ma trận A cho ma trận nào sau đây.

Cho V =<(1 , 1 ,1) ; (2, −1 , 3) ; (1 , 0,1)>. Với giá trị nào của m thì \(x = ( 2, 1, m) ∈ V\).

Tính \(A=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&2&3\\ 0&2&1&0\\ 3&1&0&{ - 1}\\ 0&1&{ - 1}&0 \end{array}} \right|\)

Giải phương trình trong trường số phức \(\left( {1 + 2i} \right)z = 3 + i\)

Tìm định thức của ma trận A¹⁰⁰, biết \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&i\\ 2&{1 + 3i} \end{array}} \right).\)

Cho \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\) là một nghiệm của \(\sqrt[n]{1}\). Ma trận vuông F_n = ( fk,j ) cấp n, với f_k,j=z^{(k−1).(j−1)} được gọi là ma trận Fourier. Phép nhân F_n . X được gọi là phép biến đổi Fourier. Tìm biến đổi Fourier của vecto X = ( 2, −1 )^T

Cho ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1&1\\ { - 3}&1&2\\ { - 2}&1&1 \end{array}} \right)\). Ma trận A gọi là ma trận lũy linh nếu A^k = 0. Số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa A^k = 0 được gọi là chỉ số của ma trận lũy linh. Tìm chỉ số của ma trận A.