Cho hai biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn \(N\left( {{\mu _1};\sigma _1^2} \right)\), Y có phân phối chuẩn \(N\left( {{\mu _2};\sigma _2^2} \right)\), X độc lập với Y. Thống kê \(U = \frac{{\overline X - \overline Y - \left( {{\mu _1} - {\mu _2}} \right)}}{{\sqrt {\frac{{\sigma _1^2}}{n} + \frac{{\sigma _2^2}}{m}} }}\) có quy luật phân phối?

Ta có \(X \sim B(1, p)\), điều này có nghĩa là X tuân theo phân phối Bernoulli với tham số p.

Nếu có n biến ngẫu nhiên độc lập \(X_1, X_2, ..., X_n\) đều tuân theo phân phối Bernoulli \(B(1, p)\), thì tổng của chúng sẽ tuân theo phân phối nhị thức \(B(n, p)\).

Trung bình mẫu \(\overline X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\). Do đó, \(n\overline X = \sum_{i=1}^{n} X_i\).

Vì \(\sum_{i=1}^{n} X_i\) là tổng của n biến Bernoulli độc lập, nó tuân theo phân phối nhị thức \(B(n, p)\).

Vậy, \(n\overline X \sim B(n, p)\).

Hệ số tương quan tuyến tính Pearson (r) đo lường mức độ và hướng của mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến. Giá trị của r nằm trong khoảng từ -1 đến 1.

• r > 0: Tương quan thuận (khi X tăng, Y có xu hướng tăng)
• r < 0: Tương quan nghịch (khi X tăng, Y có xu hướng giảm)
• |r| gần 1: Mối tương quan chặt chẽ
• |r| gần 0: Mối tương quan lỏng lẻo

Trong trường hợp này, r = -0,56, cho thấy:

• Dấu âm (-) chỉ ra rằng X và Y có tương quan nghịch.
• Giá trị tuyệt đối |r| = 0,56 cho thấy mối tương quan ở mức trung bình, không quá chặt chẽ cũng không quá lỏng lẻo, ta coi là lỏng lẻo.

Vậy, X và Y tương quan nghịch lỏng lẻo.

Bài toán kiểm định giả thuyết về trung bình của một quần thể có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn đã biết. Ta có:

• Giả thuyết null: \(H_0: \mu = 10.5\)
• Đối thuyết: \(H_1: \mu \ne 10.5\) (kiểm định hai phía)
• Mức ý nghĩa: \(\alpha = 0.05\)
• Thống kê kiểm định: \(Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{10.1 - 10.5}{1 / \sqrt{16}} = -1.6\)
• Giá trị tới hạn: Vì đây là kiểm định hai phía với \(\alpha = 0.05\), ta có \(z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96\). Miền bác bỏ là \(|Z| > 1.96\).
• Kết luận: Vì \(|-1.6| = 1.6 < 1.96\), ta không bác bỏ \(H_0\).

Vậy, ta chấp nhận H₀.