Hãy tìm số nghiệm \(x\) thuộc \(\left[ {0;100} \right]\) của phương trình sau: \({2^{\cos \pi x - 1}} + \dfrac{1}{2} = \cos \pi x + {\log _4}\left( {3\cos \pi x - 1} \right)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK : \(3\cos \pi x - 1 > 0 \Leftrightarrow \cos \pi x > \dfrac{1}{3}\)
Đặt \(t = \cos \pi x\)\( \Rightarrow \dfrac{1}{3} < \cos \pi x \le 1 \Rightarrow \dfrac{1}{3} < t \le 1\)
Phương trình trở thành \({2^{t - 1}} + \dfrac{1}{2} = t + {\log _4}\left( {3t - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow {2^{t - 1}} + \dfrac{1}{2} - t - {\log _4}\left( {3t - 1} \right) = 0\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^{t - 1}} + \dfrac{1}{2} - t - {\log _4}\left( {3t - 1} \right)\) trên \(\left( {\dfrac{1}{3};1} \right]\) có: \(f'\left( t \right) = {2^{t - 1}}\ln 2 - 1 - \dfrac{3}{{\left( {3t - 1} \right)\ln 4}}\)
Do \(t \le 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{t - 1}} \le 1}\\{3t - 1 \le 2}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow f'\left( t \right) < 1.\ln 2 - 1 - \dfrac{3}{{2.\ln 4}} < 0\) với mọi \(t \in \left( {\dfrac{1}{3};1} \right]\).
Do đó hàm số \(f\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{1}{3};1} \right]\).
Dễ thất \(f\left( 1 \right) = {2^{1 - 1}} + \dfrac{1}{2} - 1 - {\log _4}2 = 0\) nên phương trình \(f\left( t \right) = 0\) có nghiệm duy nhất \(t = 1\).
\( \Rightarrow \cos \pi x = 1 \Leftrightarrow \pi x = k2\pi {\rm{\;}} \Leftrightarrow x = 2k\).
Mà \(0 \le x \le 100 \Leftrightarrow 0 \le 2k \le 100 \Leftrightarrow 0 \le k \le 50\) .
Vậy có 51 giá trị nguyên của k ứng với 51 nghiệm.
Chọn A.
Đề thi giữa HK2 môn Toán 12 năm 2021-2022
Trường THPT Nguyễn Trãi
Câu hỏi liên quan
-
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 2}}\), biết tiếp tuyến có hệ số góc \(k = {\rm{\;}} - 3\).
-
Tìm giá trị cực đại của hàm số \(y = {\rm{\;}} - {x^3} + 3{x^2} + 1\)
-
Biết rằng \(\int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx = a + b\ln 3 + c\ln 2} \) với \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\) là các số hữu tỉ. Tính \(2a + 3b - 4c.\)
-
Tính thể tích \(V\) của khối nón có độ dài đường sinh \(l = 5a\) và bán kính của đường tròn đáy là \(r = 3a\)
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, \(AB = a;\,\,AD = a\sqrt 3 \). Thể tích khối chóp S.ABCD bằng
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(y = x\sin x\) là
-
Cho bất phương trình \({\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 2x + 6} \right) \le {\rm{\;}} - 2\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right).\) Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên dưới. Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2 + {e^x}} \right)\)nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
.JPG)
-
Nghiệm của phương trình \(\sin x = 1\) là:
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 12{x^2} - 4\) trên đoạn \(\left[ {0;9} \right]\) bằng:
-
Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và mặt phăng (DBC’) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc \({60^0}\). Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(m\) không vượt quá 2021 để phương trình \({4^{x - 1}} - m{.2^{x - 2}} + 1 = 0\) có nghiệm?
-
Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(x < y\) và \({4^x} + {4^y} = 32y - 32x + 48\).
-
Tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(3x - 2\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) quanh quanh trục Ox.
-
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai đường thẳng \({d_1}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y + 3}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 5}}{{ - 3}}\) và \({d_2}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{{x + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{y + 3}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{3}.\) Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:
-
Làng gốm truyền thống Bát Tràng dự kiến làm một bức tranh gồm hình vuông cạnh \(4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( m \right)\), thiết kế có 4 đường parabol chung đỉnh tại tâm của hình vuông, tạo nên bốn cánh hoa (tham khảo hình vẽ). Phần diện tích cánh hoa (phần tô đậm) sẽ được tráng một lớp men đặc biệt. Chi phí tráng lớp men đó có đơn giá là 24 triệu đồng/\({m^2}\). Tính số tiền phải trả để tráng men cho 4 cánh hoa.
.JPG)
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại \(A\), mặt bên \(\left( {SBC} \right)\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(B\) và vuông góc với SC, chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
-
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 4{m^3}.\) Với giá trị nào của \(m\) để hàm số có 2 điểm cực trị A,B sao cho \(AB = \sqrt {20} .\)
-
Ngày 20/01/2020, bà T gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép và lãi suất 0,7% mỗi tháng. Ngày 20/5/2020, lãi suất ngân hàng thay đổi với lãi suất mới là 0,75% mỗi tháng. Hỏi đến ngày 20/8/2020, số tiền bà T nhận về (cả vốn và lãi) gần nhất với số nào sau đây?
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x\) là:
