Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \(x + y = 2.\) Tìm giá trị lớn nhất của \(A = xy\left( {{x^3} + {y^3}} \right).\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(A = xy\left( {{x^3} + {y^3}} \right)\) \( = xy\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\)\( = xy\left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 3xy} \right]\)
Mà \(x + y = 2\,\, \Rightarrow A = xy.2.\left( {{2^2} - 3xy} \right)\) \( = 2xy\left( {4 - 3xy} \right) = 8xy - 6{\left( {xy} \right)^2}\)
\( \Rightarrow A = - 6\left[ {{{\left( {xy} \right)}^2} - \dfrac{4}{3}xy} \right]\)\( = - 6\left[ {{{\left( {xy} \right)}^2} - 2.\dfrac{2}{3}xy + \dfrac{4}{9} - \dfrac{4}{9}} \right]\)
\(\begin{array}{l} = - 6\left[ {{{\left( {xy - \dfrac{2}{3}} \right)}^2} - \dfrac{4}{9}} \right]\\ = \dfrac{8}{3} - 6{\left( {xy - \dfrac{2}{3}} \right)^2} \le \dfrac{8}{3}\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\{\left( {xy - \dfrac{2}{3}} \right)^2} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\xy = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\\y = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\\y = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(A\) là \(\dfrac{8}{3}\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình nón có đường kính đáy d = 10 cm và diện tích xung quanh 65π (cm2) . Tính thể tích khối nón:
-
Cho đường thẳng d có phương trình (5m - 15)x + 2my = m - 2 Tìm các giá trị của tham số m để d song song với trục hoành.
-
Cho đường tròn (O; 2cm). Từ điểm A sao cho OA=4cm. Vẽ tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là tiếp điểm). Chu vi tam giác ABC là:
-
Đường ống nối hai bể cá trong một thủy cung ở miền nam nước Pháp có dạng một hình trụ với độ dài \(30 m\). Dung tích của đường ống nói trên là \(1800000\) lít. Tính diện tích đáy của đường ống.
-
Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Ninh dự định tổ chức hội nghị tại hội trường \(500\) chỗ ngồi của trường THPT chuyên Bắc Ninh, hội trường được chia thành từng dãy ghế, mỗi dãy ghế có số chỗ ngồi như nhau. Vì có \(567\) người dự hội nghị nên ban tổ chức phải kê thêm \(1\) dãy ghế, đồng thời phải kê thêm \(2\) chỗ ngồi cho tất cả các dãy ghế thì vừa đủ số chỗ ngồi. Hỏi lúc đầu hội trường có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy ghế có bao nhiêu chỗ ngồi?
-
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5x\sqrt 3 + y = 2\sqrt 2 \\x\sqrt 6 + y\sqrt 2 = 2\end{array} \right.\) có nghiệm là:
-
Trong hình vẽ dưới đây, biết góc \(\angle ASC = {40^0},\,\,SA\) là tiếp tuyến của đường tròn tâm \(O.\) Góc \(\angle ACS\) có số đo bằng
.JPG)
-
Cho nửa đường tròn đường kính AB trên đó có điểm C. Đường thẳng d vuông góc với OC tại C, Cắt AB tại E.Gọi D là hình chiếu của C lên AB. Tìm câu đúng:
-
Phương trình \({x^2} = 12x + 288\) có nghiệm là
-
Tìm hai nghiệm của phương trình 18x2 + 23x + 5 = 0 sau đó phân tích đa thức A = 18x2 + 23x + 5 sau thành nhân tử.
-
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\,\,\angle ABC = {60^0},\) cạnh \(AB = 5cm.\) Độ dài cạnh \(AC\) là
-
Một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
-
Khi quay hình tam giác vuông \(ABC\) một vòng quanh cạnh góc vuông \(AB\) cố định, ta được một hình nón. Biết rằng \(AB = 4cm; AC = 3cm\). Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng:
-
Phương trình \({x^4} + 4{x^2} = 0\)
-
Giải phương trình: \({\sqrt 2 {x^2} - \sqrt 8 = 0}\).
-
Cho hình nón có bán kính đáy R = 3(cm) và chiều cao h = 4(cm). Diện tích xung quanh của hình nón là:
-
Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AC=8. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
-
Điều kiện để biểu thức \(M = \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}\) xác định là
-
Tìm u - v biết rằng u + v = 15,uv = 36 và u > v
-
Nếu một mặt cầu có diện tích là \(1017,36 cm^2\) thì thể tích hình cầu đó là:
