Cho \(x \in {\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\), biểu thức rút gọn của \(\sqrt {2 + \sqrt {2 + 2\cos x} } \) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\sqrt {2 + \sqrt {2 + 2\cos x} } \)\(= \sqrt {2 + \sqrt {2 + 2\left( {2{{\cos }^2}\dfrac{x}{2} - 1} \right)} } \)\(= \sqrt {2 + \sqrt {4{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}} } \)\(= \sqrt {2 + 2\left| {\cos \dfrac{x}{2}} \right|} \)
Vì \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) nên \(\dfrac{x}{2} \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\) \(\Rightarrow \cos \dfrac{x}{2} \ge 0\).
Do đó
\(\sqrt {2 + \sqrt {2 + 2\cos x} } \)\( = \sqrt {2 + 2\cos \dfrac{x}{2}}\)\( = \sqrt {2 + 2\left( {2{{\cos }^2}\dfrac{x}{4} - 1} \right)} \) \(= \sqrt {4{{\cos }^2}\dfrac{x}{4}} \) \(= \left| {2\cos \dfrac{x}{4}} \right| = 2\cos \dfrac{x}{4}\)
(vì \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) nên \(\dfrac{x}{4} \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right] \) \(\Rightarrow \cos \dfrac{x}{4} > 0\))
Chọn A
Đề thi giữa HK1 môn Toán 11 năm 2022-2023
Trường THPT Lý Tự Trọng
