Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1; – 2; – 1} \right)\) và \(B\left( {1;4;3} \right)\). Độ dài đoạn AB là:

 Trong không gian Oxyz , tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d: \frac{x-4}{7}=\frac{y-5}{4}=\frac{z+7}{-5} \text { . }\)

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho đường thẳng (d) có phương trình là\(\frac{x}{-8}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+1}{5}\). Viết phương trình mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng (d), biết (P) đi qua điểm \(M(0 ;-8 ; 1)\)

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { – 3;\,0;\,1} \right), B\left( {1;\, – 1;\,3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x – 2y + 2z – 5 = 0\). Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua A, song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d nhỏ nhất. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;\,b;\,c} \right)\). Khi đó \(\frac{b}{c}\) bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho \(A(1 ; 2 ; 3), B(1 ; 0 ; 2)\). Một vec tơ chỉ phương của đường thẳng AB là:

Trong không gian Oxyz , đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(d:\left\{\begin{array}{l} x=1+t \\ y=0 \\ z=-5+t \end{array}\right.\) và \(d^{\prime}:\left\{\begin{array}{l} x=0 \\ y=4-2 t^{\prime} \\ z=5+3 t^{\prime} \end{array}\right.\) có phương trình là

Nhà của ba bạn A,B,C nằm ở ba vị trí tạo thành một tam giác vuông tại B như hình vẽ, biết AB =10 kmkmBC =25km,  và ba bạn tổ chức họp mặt tại nhà bạn C. Bạn B hẹn chở bạn A tại vị trí M trên đoạn đường BC. Giả sử luôn có xe buýt đi thẳng từ A đến M. Từ nhà bạn A đi xe buýt thẳng đến điểm hẹn M với tốc độ 30km/h và từ M hai bạn A,B di chuyển đến nhà bạn C theo đoạn đường MC bằng xe máy với vận tốc 50km/h . Hỏi 5MB+3MC bằng bao nhiêu km để bạn A đến nhà bạn C nhanh nhất?

Cho 3 vectơ \(\overrightarrow{u}=(1;x;-1);\,\,\,\overrightarrow{v}=(0;2;1);\,\,\,\overrightarrow{w}=(x;7;2).\) Tìm x biết rằng \(\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right].\overrightarrow{w}=0.\)

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x² + y² + z² - 2x + 4y - 6z + 9 = 0. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu (S).

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;2;3} \right),\,\,B\left( {1;2;0} \right)\) và \(M\left( { – 1;3;4} \right)\). Gọi d là đường thẳng qua B vuông góc với AB đồng thời cách M một khoảng nhỏ nhất. Một véc tơ chỉ phương của d có dạng \(\overrightarrow u \left( {2;a;b} \right)\). Tính tổng a + b.

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 2t\\ y = 3\\ z = 5 + 3t \end{array} \right.\). Trong các vecto sau, vecto nào là một vecto chỉ phương của đường thẳng d
 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;\;2;\; – 3} \right), B\left( {3;\; – 1;\;1} \right)\). Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và B.

Trong không gian tọa độ Oxyz cho 4 điểm \(A\,(0;1;1);\,\,B\,(-1;0;2);\,\,C\,(-1;1;1);\,\,D\,(1;4;7).\) Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC) là:

Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1; 2;3) , B(0;3;1), C(4;2;2). Côsin của góc BAC bằng 

Tìm tập các tâm I của mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 2z + 4 = 0;\,\,\left( Q \right):x - 2y + 2z - 6 = 0\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm \(A(-2 ;-4 ; 5)\) . Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu tâm là A và cắt trục Oz tại hai điểm B , C sao cho tam giác ABC vuông.

Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt cầu?

Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ   Oxyz ,  tìm  tọa  độ  tâm I và  bán  kính R của  
mặt  cầu \(( S ) : ( x -1)^2 + y^2 + ( z +1)^2 = 4 .\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - t\\
y = 1 + t\\
z = t
\end{array} \right.\left( {t \in R} \right)\). Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

Trong không gian Oxyz, gọi \({T_1}\,, {T_2}\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm \(T\left( {4\,;5\,;6} \right)\) lên các trục Oy và trục Oz. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({T_1}{T_2}\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng \(d_{1}: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{1}\) và \(d_{2}: \frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{7}=\frac{z-3}{-1}\). Đường vuông góc chung của \(d_{1}\) và \(d_{2}\) lần lượt cắt \(d_{1}\) , \(d_{2}\)tại A và B . Tính diện tích S của tam giác OAB .