Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 – t\\z = t\end{array} \right.,\;d’:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t’\\y = 1 + t’\\z = 2 + t’\end{array} \right.\). Đường thẳng \(\Delta \) cắt d,d’ lần lượt tại các điểm A,B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng \(\Delta \) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(\Delta \cap d = A\left( {1 + t;2 – t;t} \right),\Delta \cap d’ = B\left( {2t’;1 + t’;2 + t’} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {2t’ – t – 1;t’ + t – 1;t’ – t + 2} \right)\)
\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 – t\\z = t\end{array} \right.\) có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {1; – 1;1} \right), \;d’:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t’\\y = 1 + t’\\z = 2 + t’\end{array} \right.\) có 1 VTCP \(\overrightarrow {u’} = \left( {2;1;1} \right)\)
AB ngắn nhất khi và chỉ khi AB là đoạn vuông góc chung của d,d’.
\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow u = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {u’} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t’ – t – 1 – t’ – t + 1 + t’ – t + 2 = 0\\4t’ – 2t – 2 + t’ + t – 1 + t’ – t + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t’ – 3t = – 2\\6t’ – 2t = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t’ = \frac{1}{2}\\t = 1\end{array} \right.\)
Suy ra \(A\left( {2;1;1} \right), \overrightarrow {AB} = \left( { – 1;\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\).
Vậy \(\Delta \) đi qua \(A\left( {2;1;1} \right)\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow {AB} = \left( { – 2;1;3} \right) \Rightarrow \Delta :\frac{{x – 2}}{{ – 2}} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{3}\).
