Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB đều. Hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABCD) trùng với trung điểm I của AB . Gọi H, K lần lượt là trung điểm của DC và SB , biết \(S H=\frac{a \sqrt{7}}{2}\) .Tính khoảng cách giữa HK và SC .
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Đặt AB=x
\(\begin{aligned} &\text { Ta có } S H^{2}=S I^{2}+I H^{2} \Rightarrow\left(\frac{a \sqrt{7}}{2}\right)^{2}=\left(\frac{x \sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2} \Rightarrow x=A B=a\\ &\text { Chuẩn hóa } a=1 \text { . Chon hệ toa độ } O x y z \text { sao cho }\\ &O \equiv I(0 ; 0 ; 0), B\left(\frac{1}{2} ; 0 ; 0\right), C\left(\frac{1}{2} ; 1 ; 0\right), S\left(0 ; 0 ; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ &\Rightarrow H(0 ; 1 ; 0), K\left(\frac{1}{4} ; 0 ; \frac{\sqrt{3}}{4}\right)\\ &\overrightarrow{H K}=\left(\frac{1}{4} ;-1 ; \frac{\sqrt{3}}{4}\right), \overrightarrow{S C}=\left(\frac{1}{2} ; 1 ;-\frac{\sqrt{3}}{2}\right), \overrightarrow{H S}=\left(0 ;-1 ; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ &[\overrightarrow{H K}, \overrightarrow{S C}]=\left(\frac{\sqrt{3}}{4} ; \frac{\sqrt{3}}{4} ; \frac{3}{4}\right),[\overrightarrow{H K}, \overrightarrow{S C}] \cdot \overrightarrow{H S}=\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 0+\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot(-1)+\frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}\\ &d(H K, S C)=\frac{|[\overrightarrow{H K}, \overrightarrow{S C}] \cdot \overrightarrow{H S}|}{|[\overrightarrow{H K}, \overrightarrow{S C}]|}=\frac{\sqrt{5}}{10} \end{aligned}\)
