Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng \({d_1}:\,\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{2},\,\,{d_2}:\frac{{x – 1}}{{ – 2}} = \frac{y}{{ – 4}} = \frac{{z – 3}}{2}\). Viết phương trình đường phân giác của những góc tù tạo bởi \({d_1},\,{d_2}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa viết phương trình tham số của \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 – t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right),\,{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 – 2s\\y = – 4s\\z = 3 + 2s\end{array} \right.\,\,\,\left( {s \in \mathbb{R}} \right)\).
Tìm giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}t = 1 – 2s\\1 – t = – 4s\\1 + 2t = 3 + 2s\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\s = 0\end{array} \right.\) suy ra I(1;0;3) là giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).
Lấy \(A\left( {0\,;\,1\,;1} \right) \in {d_1} \Rightarrow IA = \sqrt 6 .\) Gọi \(B(1 – 2s; – 4s;3 + 2s) \in {d_2}\) sao cho \(IB = \sqrt 6 \).
Ta có \(IB = \sqrt 6 \Leftrightarrow 4{s^2} + 16{s^2} + 4{s^2} = 6 \Leftrightarrow {s^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow s = \pm \frac{1}{2}.\)
Vậy có 2 điểm thỏa mãn \(\left[ \begin{array}{l}B\left( {0\,; – 2\,;\,4} \right)\\B\left( {2\,;\,2\,;\,2} \right)\end{array} \right.\).
Với \(B\left( {0\,; – 2\,;\,4} \right)\) ta có \(\overrightarrow {IA} ( – 1;1; -2),\,\overrightarrow {IB} ( – 1; – 2;1) \Rightarrow \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} = – 3 < 0 \Rightarrow \widehat {AIB}\) là góc tù
Theo yêu cầu bài toán ta viết phương trình của đường phân giác của góc \(\widehat {AIB}\) với \(B\left( {0\,; – 2\,;\,4} \right)\) (không cần xét trường hợp kia) .
Gọi M là trung điểm của AB suy ra \(M\left( {0; – \frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\), khi đó phương trình đường phân giác cần tìm là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm I(1;0;3) và \(M\left( {0; – \frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {IM} = \left( { – 1; – \frac{1}{2}; – \frac{1}{2}} \right)\), chọn \(\overrightarrow u = – 2\overrightarrow {IM} \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {2\,;\,1\,;\,1} \right)\) làm vectơ chỉ phương của đường phân giác.
Vậy đường phân giác đi qua điểm I(1;0;3) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {2\,;\,1\,;\,1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 3}}{1}\).
