Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {0;1; – 2} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z + 1 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 7 = 0\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua A và \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại hai điểm B, C sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất, với I là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\). Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + 7} = 2\sqrt 3 \).
\(\overrightarrow {AI} = \left( {1;1;2} \right)\)\( \Rightarrow AI = \sqrt 6 < R \Rightarrow A\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\) và A nằm trên dây cung \(BC\left( 1 \right)\).
\({S_{\Delta IBC}} = \frac{1}{2}IB.IC.\sin \widehat {BIC} = \frac{{{R^2}}}{2}\sin \widehat {BIC} \le \frac{{{R^2}}}{2}\) nên diện tích \(\Delta IBC\) đạt giá trị lớn nhất là \(\frac{{{R^2}}}{2} \Leftrightarrow \sin \widehat {BIC} = 1 \Rightarrow \widehat {BIC} = 90^\circ \Rightarrow \Delta IBC\) vuông cân tại \(I \Rightarrow BC = IC\sqrt 2 = R\sqrt 2 = 2\sqrt 6 \)
Gọi J là trung điểm của BC. Ta có \(IJ \bot BC\) và \(IJ = \frac{{BC}}{2} = \sqrt 6 \left( 2 \right)\).
\(\Delta AIJ\) vuông tại \(J \Rightarrow AI \ge IJ\), kết hợp thêm với \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(IJ = AI\Rightarrow A \equiv J \Rightarrow A\) là trung điểm của BC và \(IA \bot BC\).
\(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \({\overrightarrow n _{_{\left( P \right)}}} = \left( {1;1;1} \right)\) có giá vuông góc với \(\Delta \).
Vậy \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow u = \left[ {{{\overrightarrow n }_{_{\left( P \right)}}},\overrightarrow {AI} } \right] = \left( {1; – 1;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương và đi qua \(A\left( {0;1; – 2} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 – t\\z = – 2\end{array} \right.\).
