Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {1;1; – 3} \right), B\left( {3; – 1;1} \right)\). Gọi M là trung điểm của AB, đoạn OM có độ dài bằng

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : \(d: \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+1}{1}\). Trong các mặt phẳng dưới đây, tìm một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng \((P): 2 x-z+5=0\). Một véc tơ pháp tuyến của (P) là

Cho 4 điểm \(A\,(1;1;0);\,\,B\,(0;2;1);\,\,C\,(1;0;2);\,\,D\,(1;1;1)\). Tính diện tích mặt ADB của tứ diện ABCD.

Trong không gian, cho tam giác OAB cân ở O có \(O A=O B=5 ; \tan \widehat{A O B}=\frac{4}{3}\) . Điểm C di động trên tia Oz vuông góc (OAB) , gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Khi C di động trên tia Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng: 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng \(d_{1}: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{1}\) và \(d_{2}: \frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{7}=\frac{z-3}{-1}\). Đường vuông góc chung của \(d_{1}\) và \(d_{2}\) lần lượt cắt \(d_{1}\) , \(d_{2}\)tại A và B . Tính diện tích S của tam giác OAB .

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  (S )  có tâm  I (2;1; -1) và tiếp xúc với mp(P)  có phương  trình: 2 x - 2 y - z + 3 = 0 Bán kính của mặt cầu  (S ) là:

Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;-1;3), song song với hai đường thẳng \(d: \frac{x-4}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z-1}{-2}, d^{\prime}: \frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{1}\) có phương trình là:
 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {1;\; – 2;\;1} \right), N\left( {0;\;1;\;3} \right)\). Phương trình đường thẳng qua hai điểm M, N là

Tính bán kính mặt cầu (S) có tâm I(1;2;0) và (S) qua P(2;−2;1).

 Cho hình lập phương \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\) có các cạnh bằng 2 , gọi điểm M là tâm của mặt bên \(A B B^{\prime} A^{\prime}\), các điểm N, P, Q, K lần lượt là trung điểm của các cạnh \(A C, D D^{\prime}, D^{\prime} C^{\prime}, B^{\prime} C^{\prime}\) . Tính cos góc giữa hai mặt phẳng \((M N P) \text { và }(A Q K)\)?

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua \(M(2 ;-1 ; 3)\) và vuông góc với đường thẳng \(\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{1}\)
 

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ – 3}} = z – 3\) . Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) có tọa độ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng \(\Delta_{1}: \frac{x-4}{3}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+5}{-2}\) và \(\Delta_{2}: \frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{3}=\frac{z}{1}\). Giả sử \(M \in \Delta_{1}, N \in \Delta_{2}\) sao cho MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \(\Delta_{1} \text { và } \Delta_{2} . \text { Tính } \overrightarrow {M N}\)

Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz , cho điểm A(1;1;1) và đường thẳng d:\(\left\{\begin{array}{l} x=6-4 t \\ y=-2-t \\ z=-1+2 t \end{array}\right.\)

Hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d có tọa độ là:

Trong không gian Oxyz, cho hai véc-tơ \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 3;4} \right),\overrightarrow v  = \left( {1;3;0} \right)\). Tính \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \)

Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;1;2), B(−4;2;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x−5y+1=0  có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {1;0;2} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua A, vuông góc và cắt d có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm \(A(-3 ; 2 ; 0), B(1 ; 2 ; 4)\). Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB

Cho 4 điểm \(A(1 ; 2 ;-2) ; B(2 ; 2 ; 0) ; C(0 ; 5 ;-1) ; D(3 ; 2 ; x)\). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC .Tính giá trị của biểu thức \(f=\overrightarrow {GC}.\overrightarrow {GC}\)
 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) đi qua hai điểm \(A(1 ; 1 ; 2), B(3 ; 0 ; 1)\) và có tâm thuộc trục Ox . Phương trình của mặt cầu (S) là: