Tại mặt nước có hai nguồn sóng (A, B ) giống hệt nhau cách nhau (8cm ), gọi (M, N ) là hai điểm trên mặt nước sao cho (MN = 4cm ) và tạo với (AB )một hình thang cân (( (MN//AB) ) ), biết (M,N ) dao động với biên độ cực đại. Bước sóng trên mặt nước là (1cm ). Để trên đoạn (MN ) có đúng (5 ) điểm dao động cực đại thì diện tích của hình thang phải là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐể trên đoạn MN có 5 cực đại thì M phải thuộc cực đại bậc 2 nên k=2
M là cực đại thì \( {{\rm{d}}_1} - {d_2} = k\lambda = 2.1 = 2cm(1)\)
Xét tam giác AHMcó:
\( d_1^2 = A{M^2} = A{H^2} + H{M^2} = {(AO + OH)^2} + {h^2} = {\left( {\frac{{AB}}{2} + OH} \right)^2} + {h^2} = {6^2} + {h^2}\left( 2 \right)\)
Tương tự xét tam giác BMH có:
\( d_2^2 = B{M^2} = B{H^2} + H{M^2} = {\left( {OB - OH} \right)^2} + {h^2} = {\left( {\frac{{AB}}{2} - OH} \right)^2} + {h^2} = {2^2} + {h^2}\left( 3 \right)\)
Lấy (2) trừ (3) vế theo vế ta có: \( {\rm{d}}_1^2 - d_2^2 = 32\left( 4 \right)\) từ (1) thay vào (4) suy ra:
\( \left( {{d_1} - {d_2}} \right)\left( {{d_1} + {d_2}} \right) = 32 \Rightarrow {d_1} + {d_2} = \frac{{32}}{{{d_1} - {d_2}}} = \frac{{32}}{2} = 16cm\)
Vậy ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l} {d_1} - {d_2} = 2\\ {d_1} + {d_2} = 16 \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} {d_1} = 9cm\\ {d_2} = 7cm \end{array} \right.\)
Thay vào (2) suy ra: \(h=3\sqrt5cm\)
Vậy diện tích lớn nhất của hình thang: \(S = \frac{1}{2}.h\left( {AB + MN} \right) = 18\sqrt 5 c{m^2}\)