Hai dòng điện thẳng dài đặt song song cùng chiều, cách nhau d = 12cm trong không khí có I2 = I1 = I = 10A. Xác định cảm ứng từ tổng hợp tại điểm M cách đều I1 và I2 một khoảng x. Hãy xác định x để độ lớn cảm ứng từ tổng hợp do hai dòng điện gây ra đạt giá trị cực đại. Tính giá trị cực đại đó
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGiả sử hai dây dẫn được đặt vuông góc với mặt phẵng hình vẽ, dòng I1 đi vào tại A, dòng I2 đi vào tại B. Các dòng điện I1 và I2 gây ra tại M các véc tơ cảm ứn\(\overrightarrow {{B_1}} \) và \(\overrightarrow {{B_2}} \) có phương chiều như hình vẽ:
.png)
Có độ lớn: \({B_1} = {B_2} = {2.10^{ - 7}}\frac{I}{x}\)
Từ hình ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} AH = \frac{{12}}{2} = 6cm = 0,06m\\ HM = \sqrt {A{M^2} - A{H^2}} = \sqrt {{x^2} - 0,{{06}^2}} cos\alpha = \frac{{HM}}{{AM}} \end{array} \right.\)
Cảm ứng từ tổng hợp tại M là:
\(\vec B = \overrightarrow {{B_1}} + \overrightarrow {{B_2}} \) có phương chiều như hình vẽ và có độ lớn:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {B = 2{B_1}cos\alpha = {{2.2.10}^{ - 7}}\frac{I}{x}\frac{{HM}}{{AM}}}\\ { = {{4.10}^{ - 7}}.\frac{{10}}{x}\frac{{\sqrt {{x^2} - 0,{{06}^2}} }}{x}}\\ { = {{4.10}^{ - 6}}\frac{{\sqrt {{x^2} - 0,{{06}^2}} }}{{{x^2}}}} \end{array}\)
Nhận thấy, B đạt cực đại khi \(\frac{{\sqrt {{x^2} - 0,{{06}^2}} }}{{{x^2}}}\)
đạt cực đại:
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\sqrt {{x^2} - 0,{{06}^2}} }}{{{x^2}}} = \sqrt {\frac{{{x^2} - 0,{{06}^2}}}{{{x^4}}}} = \sqrt {\frac{1}{{{x^2}}}\left( {1 - \frac{{0,{{06}^2}}}{{{x^2}}}} \right)} }\\ { = \sqrt {\frac{1}{{0,{{06}^2}}}\frac{{0,{{06}^2}}}{{{x^2}}}\left( {1 - \frac{{0,{{06}^2}}}{{{x^2}}}} \right)} = \frac{1}{{0,06}}\sqrt {\frac{{0,{{06}^2}}}{{{x^2}}}\left( {1 - \frac{{0,{{06}^2}}}{{{x^2}}}} \right)} } \end{array}\)
Do \(d < x \to 1 - \frac{{0,{{06}^2}}}{{{{\rm{x}}^2}}} > 0\)
Áp dụng BĐT cosi \(\sqrt {ab} \le \frac{{a + b}}{2}\) ta có:
\(\sqrt {\frac{{0,{{06}^2}}}{{{x^2}}}\left( {1 - \frac{{0,{{06}^2}}}{{{x^2}}}} \right)} \le \frac{{\frac{{0,{{06}^2}}}{{{x^2}}} + 1 - \frac{{0,{{06}^2}}}{{{x^2}}}}}{2} = \frac{1}{2}\)
Dấu “ = ” xảy ra khi:
\(\frac{{0,{{06}^2}}}{{{x^2}}} = 1 - \frac{{0,{{06}^2}}}{{{x^2}}} \Rightarrow x = 6\sqrt 2 {.10^{ - 2}}m\)
Khi đó \({B_{max}} = {4.10^{ - 6}}\frac{1}{{0,06}}.\frac{1}{2} = 3,{33.10^{ - 5}}T\)
