Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất \(x\) sản phẩm \(\left( 1\le x\le 500 \right)\) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sân phẳm đó là: \(F\left( x \right)={{x}^{3}}-1999{{x}^{2}}+1001000x+250000\) (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là: \(G\left( x \right)=x+1000+\frac{250000}{x}\) (đồng).

Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Theo Định luật Hooke, lực cần dùng để kéo giãn lò xo thêm \(x\) mét từ độ dài tự nhiên là \(f\left( x \right)=k.x\left( N \right)\) với \(k\left( N/m \right)\) là độ cứng của lò xo. Một lực \(50N\) được dùng để kéo giãn lò xo từ \(10cm\)đến độ dài \(15cm\). Hỏi cần thực hiện một công là bao nhiêu để kéo giãn lò xo từ \(15cm\) đến \(20cm\)?

Một người cần xây một nhà kho có mặt tiền mở và sàn hình vuông và có thể tích là \(10000\,{{m}^{3}}\) Biết chi phí thi công sàn là 500 ngàn đồng/\({{m}^{2}}\),  chi phí thi công vách là 800 ngàn đồng/\({{m}^{2}}\),  chi phí thi công phần mái là 1 triệu đồng/\({{m}^{2}}\) Biết tổng chi phí chi phí thi công nhà kho là thấp nhất, khi đó diện tích sàn nhà kho bằng bao nhiêu mét vuông?

Một nhà sản xuất trung bình bán được 1000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếMột cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần. Gọi \(x\) là số ti vi bán được mỗi tuần, \(p\) (triệu đồng) là giá bán của mỗi ti vi. Khi đó \(p=p\left( x \right)\) được gọi là hàm cầu.

Độ pH của một dung dịch là đại lượng đặc trưng cho mức độ acid, base của một dung dịch. pH liên hệ trực tiếp với nồng độ \({{\text{H}}^{+}}\)thông qua biểu thức sau:

\(\text{pH}=-\text{lo}{{\text{g}}_{10}}\left( \left[ {{\text{H}}^{+}} \right] \right).\)

Trong đó: \(\left[ {{\text{H}}^{+}} \right]\left( \text{mol}/\text{L} \right)\): là nồng độ của ion \({{\text{H}}^{+}}\)có trong dung dịch cần xét.

Hơn nữa:

\(\text{pH}=-\text{lo}{{\text{g}}_{10}}\left( \frac{{{10}^{-14}}}{\left[ \text{O}{{\text{H}}^{-}} \right]} \right)\).

Trong đó: \(\left[ \text{O}{{\text{H}}^{-}} \right]\left( \text{mol}/\text{L} \right)\): là nồng độ của ion \(\text{O}{{\text{H}}^{-}}\)có trong dung dịch cần xét.

Xét thí nghiệm hóa học dưới đây:

Người ta muốn xác định độ pH của một dung dịch bằng cách trộn \(0,2\left( L \right)\) dung dịch \({{\text{H}}_{2}}\text{S}{{\text{O}}_{4}}\) có \({{\text{n}}_{{{\text{H}}_{2}}\text{S}{{\text{O}}_{4}}}}=0,02\text{ }\!\!~\!\!\text{ mol}\) với \(0,5\left( L \right)\) dung dịch NaOH có \({{\text{n}}_{\text{NaOH}}}=0,06\text{ }\!\!~\!\!\text{ mol}\). Tính độ pH của dung dịch tạo thành (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Nhà máy \(A\) chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy \(B\). Hai nhà máy thoả thuận rằng, hàng tháng nhà máy \(A\) cung cấp cho nhà máy \(B\) số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của \(B\) (tối đa \(100\) tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \(x\) tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là \(P\left( x \right)=45-0,001{{x}^{2}}\) (triệu đồng). Chi phí để \(A\) sản xuất \(x\) tấn sản phẩm trong một tháng gồm \(100\) triệu đồng chi phí cố định và \(30\) triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm. Nhà máy \(A\) cần bán cho nhà máy \(B\) bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được lớn nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy Hai nhà máy này thoả thuận rằng, hằng tuần A cung cấp cho B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa 100 sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \(x\) sản phẩm thì giá bán cho mỗi sản phẩm là \(P\left( x \right)=45-0,001{{x}^{2}}\) (triệu đồng). Chi phí để A sản xuất \(x\) sản phẩm trong một tuần là \(C\left( x \right)=100+30x\) (triệu đồng) (gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi sản phẩm). Hỏi nhà máy A bán cho nhà máy B bao nhiêu sản phẩm mỗi tuần để thu được lợi nhuận nhiều nhất? (Số sản phẩm là số nguyên dương).

Một nguời bình thường với chiều cao \(h\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\), nặng \(w\) kilogram có diện tích bề mặt cơ thể \(S\) được mô hình hoá bởi công thức \(S=\frac{1}{60}\cdot {{w}^{0.5}}\cdot {{h}^{0.5}}\) (\({{\text{m}}^{2}}\)) (công thức Mosteller). Một đối tượng có chiều cao bằng 168 cm, nặng 62 kg tham gia một cuộc nghiên cứu về sức khỏe trong 5 năm. Người ta nhận thấy cân nặng của đối tượng quan sát thay đổi với tốc độ \({w}'\left( t \right)=0,02{{t}^{2}}+0,2t\text{ }\!\!~\!\!\text{ kg}/\) năm \(\left( 0\le t\le 5 \right)\) và chiều cao tăng đều mỗi năm \(0,5\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\). Sau 5 năm quan sát, diện tích bề mặt cơ thề của đối tượng trên tăng thêm bao nhiêu centimet vuông so với ban đầu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vi).

Ông Toàn có một mảnh đất phẳng hình elip có độ dài trục lớn bằng \({16}\) m và độ dài trục nhỏ là \({10}\) m. Ông để một dải đất rộng \({8}\) m làm sân, lối đi và dải đất này nhận trục bé của elip làm trục đối xứng đồng thời ông muốn trồnghoa hai bên mảnh đất còn lại. Biết kinh phí để trồng hoa là \({100\,000}\) đồng/m\({^2}\). Hỏi ông Toàn cần bao nhiêu triệu đồng trồng hoa trên phần đất đó (kết quả được làm tròn đến hàng trăm)?

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức \(G\left( x \right)=0,024{{x}^{2}}\left( 30-x \right)\), trong đó \(x\) là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp (x được tính bằng mg). Tìm lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất.

Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí vật liệu là 60 000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được.

Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là \(2,25\) mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là \(3\) mét. Giá thuê mỗi mét vuông là \(150000\) đồng. Vậy số tiền bác Năm phải trả là bao nhiêu?

Một nhà máy sản xuất \(\text{ }x\) sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất \(x\) sản phẩm được cho bởi hàm chi phí

\(C\left( x \right)=16\,000+500x-1,6{{x}^{2}}+0,004{{x}^{3}}\) (nghìn đồng).

Biết giá bán của của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng sản phẩm \(x\) và được cho bởi công thức \(p\left( x \right)=1700-7x\) (nghìn đồng). Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Biết rằng kết quả khảo sát thị trường cho thấy sản phẩm sản xuất ra sẽ được tiêu thụ hết.

Một công ty vận tải cần giao hàng đến tất cả các thành phố A, B, C, D, E (hình vẽ bên dưới). Chi phí di chuyển giữa các thành phố được mô tả trên hình. Xe giao hàng của công ty xuất phát từ một thành phố trong năm thành phố trên đi qua tất cả các thành phố còn lại đúng một lần sau đó trở lại thành phố ban đầu. Tìm chi phí thấp nhất của xe giao hàng.

Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí \(A\) tới điểm \(B\) về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng \(3\,\,\text{km}\) (như hình vẽ).

Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến \(C\) và sau đó chạy đến \(B\), hay có thể chèo trực tiếp đến \(B\), hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm \(D\) giữa \(C\) và \(B\) và sau đó chạy đến \(B\). Biết anh ấy có thể chèo thuyền \(6\,\,\text{km/}\,\text{h}\), chạy \(8\,\,\text{km/}\,\text{h}\) và quãng đường \(BC=8\,\,\text{km}\). Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Gọi \(x\,\,\left( \text{km} \right)\) là độ dài quãng đường \(BD\). Xét tính đúng sai trong các khẳng định sau:

Nhà máy \(A\) chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy \(B\). Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng \(A\) cung cấp cho \(B\) số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của \(B\) (tối đa \(100\) tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \(X\) tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi sản phẩm là \(P\left( x \right)=45-0,001{{x}^{2}}\) (triệu đồng). Chi phí để \(A\) sản xuất x tấn sản phẩm trong một tháng là \(C\left( x \right)=100+30x\) triệu đồng (gồm \(100\) triệu đồng chi phí cố định và \(30\) triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Nhà máy\(A\) bán cho \(B\) bao nhiêu tấn sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Trong hình bên cho biết một hình trụ bán kính đáy \(r\left( cm \right)\), chiều cao \(h\left( cm \right)\) nội tiếp hình nón có bán kính đáy \(9\,cm\), chiều cao \(18\,cm\). Tìm giá trị của \(r\) để thể tích của hình trụ là lớn nhất. (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của \(cm\))

Trong mỗi ý a), b), c). d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.

Một cái cổng hình parabol như hình bên. Chiều cao \({GH=4}\) m, chiều rộng \({AB=4}\) m, \({AC=BD=0{,}9}\) m. Người ta làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật \({CDEF}\) tô đậm với giá \({1\,200\,000}\) đồng/m\({^2}\), phần còn lại làm khung hoa sắt với giá \({900\,000}\) đồng/\({{m}^{2}}\).

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất \(8000\) quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất \(30\) quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là \(200\) nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là \(192\) nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng A cung cấp cho B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là x tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi sản phẩm là \(P\left( x \right)=45-0,001{{x}^{2}}\) (triệu đồng). Chi phí để A sản xuất x tấn sản phẩm trong một tháng là \(C\left( x \right)=100+30x\) triệu đồng (gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Nhà máy A bán cho B bao nhiêu tấn sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Nhà ông Hải có một cái cổng hình chữ nhật, lối vào cổng có dạng parabol có kích thước như hình vẽ.

Ông Hải cần trang trí bề mặt (phần gạch chéo) của cổng. Hỏi ông Hải cần bao nhiêu tiền (đơn vị: triệu đồng) để trang trí, biết giá thành trang trí là 1200000 đồng/m²?