Cho n là số tự nhiên. Tính \(\left(\mathrm{C}_{2 n+1}^{n}\right)^{2}-\left(\mathrm{C}_{2 n+1}^{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{C}_{2 n+1}^{2}\right)^{2}-\cdots-\left(\mathrm{C}_{2 n+1}^{2 n+1}\right)^{2}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\begin{array}{l} (1+x)^{2 n+1}=\mathrm{C}_{2 n+1}^{0}+\mathrm{C}_{2 n+1}^{1} x+\mathrm{C}_{2 n+1}^{2} x^{2}+\cdots+\mathrm{C}_{2 n+1}^{2 n+1} x^{2 n+1} \\ (x-1)^{2 n+1}=\mathrm{C}_{2 n+1}^{0} x^{2 n+1}-\mathrm{C}_{2 n+1}^{1} x^{2 n}+\mathrm{C}_{2 n+1}^{2} x^{2 n-1}-\cdots-\mathrm{C}_{2 n+1}^{2 n+1} \end{array}\)
\(\Rightarrow \text { Hệ số của hạng tử chứa } x^{2 n+1} \text { trong khai triển của tích }(1+x)^{2 n+1}(x-1)^{2 n+1} \text { là }\)
\(\left(\mathrm{C}_{2 n+1}^{n}\right)^{2}-\left(\mathrm{C}_{2 n+1}^{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{C}_{2 n+1}^{2}\right)^{2}-\cdots-\left(\mathrm{C}_{2 n+1}^{2 n+1}\right)^{2}\)
\(\text { Măt khác }(1+x)^{2 n+1}(x-1)^{2 n+1}=\left(x^{2}-1\right)^{2 n+1} \text { có tất cả các hạng tử đều chứa lũy thừa bậc chẵn của biến } x\)
\(\text { nên hệ số của hạng tử chứa } x^{2 n+1} \text { là } 0 .\)
\(\text { Do đó }\left(\mathrm{C}_{2 n+1}^{n}\right)^{2}-\left(\mathrm{C}_{2 n+1}^{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{C}_{2 n+1}^{2}\right)^{2}-\cdots-\left(\mathrm{C}_{2 n+1}^{2 n+1}\right)^{2}=0\)
