Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên 2a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp trên là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi O là giao điểm AC và BD\(\Rightarrow \mathrm{SO} \perp(\mathrm{ABCD})\)
\(\mathrm{Ta} \mathrm{có}: \mathrm{SO}^{2}=\mathrm{SC}^{2}-\frac{2 \mathrm{a}^{2}}{4}=4 \mathrm{a}^{2}-\frac{\mathrm{a}^{2}}{2}=\frac{7 \mathrm{a}^{2}}{2} \Rightarrow \mathrm{SO}=\frac{\mathrm{a} \sqrt{14}}{2}\)
Dựng trung trực của SA \(\Rightarrow \mathrm{d} \perp \mathrm{SA}\) tại trung điểm M. Xét (SAO) có d cắt SO tại I, ta có :
\(\begin{array}{l} S I=I A ; I A=I B=I C=I D \\ \Rightarrow I S=I A=I B=I C=I D \end{array}\)
Suy ra Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là I và bán kính r=SI
\(\Delta \mathrm{SIM} \sim \Delta \mathrm{SAO} \Rightarrow \frac{\mathrm{SI}}{\mathrm{SA}}=\frac{\mathrm{SM}}{\mathrm{SO}} \Rightarrow \mathrm{SI}=\frac{\mathrm{SM} \cdot \mathrm{SA}}{\mathrm{SO}} \\ \Rightarrow \mathrm{SI}=\frac{2 \mathrm{a} \sqrt{14}}{7}\)
\(\text { Vậy : } r=S I=\frac{2 a \sqrt{14}}{7}\\ \text { Suy ra } V=\frac{4}{3} \pi r^{3}=\frac{448 \pi a^{3} \sqrt{14}}{1029}\)
