Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng \(a.\) Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho \(AB=2a.\) Tính thể tích của khối tứ diện \(\text{OO}'AB.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
Kẻ đường sinh AA’. Gọi D là điểm đối xúng của A’ qua O’ và H là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng \(AD.\)
\(\left\{ \begin{align} & BH\bot A'D \\ & BH\bot AA' \\ \end{align} \right.\Rightarrow BH\bot \left( AOOA' \right)\)
Do đó, BH là chiều cao của tứ diện \(\text{OO}'AB\)
Thể tích khối tứ diện \(\text{OO}'AB:V=\frac{1}{3}.{{S}_{\Delta AOO'}}.BH\)
Tam giác \(AA'B\) vuông tại A’ cho: \(A'B=\sqrt{A{{B}^{2}}-A'{{A}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}\)
Tam giác \(A'B=\sqrt{A'{{D}^{2}}-A'{{B}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-3{{a}^{2}}}=a.\)
Suy ra \(BO'D\) là tam giác đều cạnh \(a.\)
Từ đó \(BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)
Do \(OA=\text{OO }\!\!'\!\!\text{ =a}\) nên tam giác \(AOO'\) vuông cân tại O.
Diện tích tam giác \(AOO'\) là:
\({{S}_{\Delta AOO'}}=\frac{1}{2}OA.\text{OO }\!\!'\!\!\text{ =}\frac{1}{2}{{a}^{2}}\)
Vậy \(V=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.\)
Câu hỏi liên quan
-
Một hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy của hình nón bằng \(9\pi \). Tính đường cao h của hình nón.
-
Hình trụ có bán kính đáy (r = 2cm ) và chiều cao (h = 5cm ) có diện tích xung quanh:
-
Cho hình trụ có chiều cao bằng 2a, bán kính đáy bằng a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ.
-
Cho khối trụ \(\left( T \right)\) có bán kính đáy R = 1, thể tích \(V = 5\pi \). Tính diện tích toàn phần của hình trụ tương ứng
-
Cho khối nón có bán kính đáy và đường sinh lần lượt là r = 3cm,l = 5cm. Tính thể tích khối nón.
-
Một khối trụ có bán kính đáy bằng r có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó.
-
Tính diện tích toàn phần S của mặt nón (N) biết thiết diện qua trục của nó là một tam giác vuông có cạnh huyền bằng \(2\sqrt 2a\)
-
Một cái phễu có dạng hình nón. Chiều cao của phễu là 20 cm. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 10 cm. Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên thì chiều cao của cột nước trong phễu gần bằng với giá trị nào sau đây?
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi O là tâm đáy, M là trung điểm của OA. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCD).
-
Cho hình chữ nhật (ABCD ), khi quay hình chữ nhật quanh cạnh (AD ) thì (CD ) được gọi là:
-
Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 5, bán kính bằng 3. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:
-
Cho hình chóp S.ABC có SA = 8, SA vuông góc với đáy. Tam giác ABC vuông tại A, BC = 7. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
-
Cho \(AA'B'B\) là thiết diện song song với trục OO’ của hình trụ (A, B thuộc đường tròn tâm O). Cho biết \(AB=4,\text{AA }\!\!'\!\!\text{ =3}\) và thể tích của hình trụ bằng \(V=24\pi .\) Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng \(\left( \text{AA}'B'B \right)\) là:
-
Trong không gian, cho tam giác ABC cân tại A, \(AB = a\sqrt {10} ,\;BC = 2a\). Gọi H là trung điểm của BC. Tính thể tích V của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AH.
-
Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với (ABC), góc giữa cạnh bên SB với đáy là \(60^o\). Tam giác ABC vuông tại B, \(\mathrm{AB}=\mathrm{a} \sqrt{3}, \widehat{ACB}=30^{0}\) . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp là -
Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh bằng a.
-
Thể tích khối nón có bán kính đáy (r ), độ dài đường sinh (l ) là:
-
Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O, bán kính R . Biết SO = h. Độ dài đường sinh của hình nón bằng
-
Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông. Bên trong hình trụ có một hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp. Nếu thể tích hình lăng trụ là V thì thể tích hình trụ bằng bao nhiêu?
-
Cho hình nón có diện tích xung quanh là \({S_{xq}}\) và bán kính đáy là r. Công thức nào dưới đây dùng để tính đường sinh \(l\) của hình nón đã cho.
