Cho hai hình vuông cùng có cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiKhi ta quay hình thứ nhất quay trục XY, ta được 2 hình nón ghép lại với nhau trong đó:
\( h = \frac{{\sqrt {{5^2} + {5^2}} }}{2} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} = r\)
Áp dụng công thức thể tích ta có:
\( {V_1} = 2.\frac{1}{3}\pi r{h^2} = 2.\frac{1}{3}.\pi {\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^3} = \frac{{125\pi }}{{3\sqrt 2 }}.\)
Khi ta quay hình còn lại theo trục XY thì ta được hình trụ có chiều cao là 5, bán kính \( r = \frac{5}{2}\)
Áp dụng công thức thể tích ta có:
\( {V_2} = S.h = \pi {r^2}h = \frac{{125\pi }}{4}.\)
Phần bị trùng sẽ là tam giác vuông của 2 hình vuông đè vào nhau, là 1 hình nón
\( r = h = \frac{5}{2} \Rightarrow {V_3} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{125\pi }}{{24}}.\)
Như vậy: \( V = 125\pi \left( {\frac{1}{{3\sqrt 2 }} + \frac{1}{4} - \frac{1}{{24}}} \right) = \frac{{125\pi \left( {5 + 4\sqrt 2 } \right)}}{{24}}.\)
Câu hỏi liên quan
-
Thể tích khối trụ có bán kính (r = 4cm ) và chiều cao (h = 5cm ) là:
-
Trong không gian, cho hình thang cân ABCD, AB//CD, AB = 3a, CD = 6a, đường cao MN = 2a, với (M, N ) lần lượt là trung điểm cảu (AB ) và (CD. ) Khi quay hình thang cân quang trục đối xứng (MN ) thì được một hình nón cụt có diện tích xung quanh là:
.PNG)
-
Cho hình trụ có bán kính đáy và chiều cao cùng bằng 2. Thể tích khối trụ bằng:
-
Công thức tính thể tích khối nón biết diện tích đáy Sd và đường sinh l là:
-
Cho hình nón bán kính đáy r và diện tích xung quanh Sxq. Độ dài đường sinh l của hình nón là:
-
Cho hình nón tròn xoay có bán kính đường tròn đáy r, chiều cao h và đường sinh \(l\).
Kết luận nào sau đây sai?
-
Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật (ABCD ) có (AB ) và (CD ) thuộc hai đáy của hình trụ, (AB = 4a ), (AC = 5a ). Thể tích khối trụ là
-
Hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a có diện tích xung quanh bằng:
-
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, mặt bên là các hình vuông. Diện tích toàn phần của hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ là:
-
Gọi l,R, h lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón (N). Diện tích xung quanh \(S_{xq}\) của hình nón (N) là
-
Cho một hình nón với thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a có diện tích xung quanh là S1 và một mặt cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón có diện tích S2. Khi đó hệ thức giữa S1 và S2 là:
-
Cho hình chữ nhật (ABCD ), khi quay hình chữ nhật quanh cạnh (AD ) thì (CD ) được gọi là:
-
Xét hình trụ (T ) có thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông cạnh a. Tính diện tích toàn phần (S ) của hình trụ.
-
Một hình nón có chiều cao bằng \(a\sqrt 3 \) và bán kính đáy bằng a. Tính diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình nón.
-
Gọi l,R, h lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón.
Đẳng thức nào sau đây luôn đúng -
Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và CD thuộc hai đáy của hình trụ, AB = 4a, AC = 5a. Tính thể tích khối trụ.
-
Chiều cao khối trụ có thể tích V và diện tích đáy Sd là:
-
Cho hai điểm M,N cố định và đường thẳng (\(\Delta\) ) cố định thỏa mãn MN vuông góc \(\Delta\) ,\(d(M,\Delta ) = d( N,\Delta )\). Có bao nhiêu đường tròn đi qua M,N và nhận (\(\Delta \)) làm trục?
-
Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy R, chiều cao là h.
-
Khi quay hình chữ nhật (MNPQ ) quanh đường thẳng (AB ) với (A,B ) lần lượt là trung điểm của (MN,PQ ) ta được một hình trụ có đường kính đáy:
