Tính tích phân $I = \int {\frac{{3dx}}{{{x^2} - 7x + 10}}}$

$\ln \left| {x - 2} \right| - \ln \left| {x - 4} \right| + C$

$\ln \left| {x - 5} \right| - \ln \left| {x - 2} \right| + C$

$\frac{{\ln \left| {x - 5} \right|}}{{\ln \left| {x - 2} \right|}} + C$

$\ln \left| {(x - 4)(x - 2)} \right| + C$

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Ta có

I = \int \frac{3 d x}{x^{2} - 7 x + 10} = \int \frac{3 d x}{(x - 2) (x - 5)}

$I = \int {\frac{{3dx}}{{{x^2} - 7x + 10}}} = \int {\frac{{3dx}}{{(x - 2)(x - 5)}}}$ . Phân tích thành phân thức đơn giản:

\frac{3}{(x - 2) (x - 5)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 5}

$\frac{3}{{(x - 2)(x - 5)}} = \frac{A}{{x - 2}} + \frac{B}{{x - 5}}$

3 = A (x - 5) + B (x - 2)

$3 = A(x - 5) + B(x - 2)$ Chọn

x = 2

$x = 2$ , ta được

3 = A (2 - 5) \Rightarrow A = - 1

$3 = A(2 - 5) \Rightarrow A = -1$ . Chọn

x = 5

$x = 5$ , ta được

3 = B (5 - 2) \Rightarrow B = 1

$3 = B(5 - 2) \Rightarrow B = 1$ . Vậy,

\frac{3}{(x - 2) (x - 5)} = - \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 5}

$\frac{3}{{(x - 2)(x - 5)}} = -\frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 5}}$ . Do đó,

I = \int (- \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 5}) d x = - \int \frac{d x}{x - 2} + \int \frac{d x}{x - 5} = - ln | x - 2 | + ln | x - 5 | + C = ln | x - 5 | - ln | x - 2 | + C

$I = \int {\left( { - \frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 5}}} \right)dx} = - \int {\frac{{dx}}{{x - 2}}} + \int {\frac{{dx}}{{x - 5}}} = - \ln \left| {x - 2} \right| + \ln \left| {x - 5} \right| + C = \ln \left| {x - 5} \right| - \ln \left| {x - 2} \right| + C$

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 4

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 3:

Tính tích phân $I = \int { \frac{{7{{(\ln x - 1)}^6}}}{x}} dx$

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Đặt

t = ln x - 1

$t = \ln x - 1$ , suy ra

d t = \frac{1}{x} d x

$dt = \frac{1}{x} dx$ . Khi đó, tích phân trở thành:

I = \int 7 t^{6} d t = 7 \cdot \frac{t^{7}}{7} + C = t^{7} + C = (ln x - 1)^{7} + C .

$I = \int 7t^6 dt = 7 \cdot \frac{t^7}{7} + C = t^7 + C = (\ln x - 1)^7 + C.$
Vậy đáp án đúng là

(ln x - 1)^{7} + C

$(\ln x - 1)^7 + C$ .

Câu 4:

Tính $\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}( - 3x + 1)}}}$

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có công thức nguyên hàm:

\int \frac{d x}{{sin}^{2} (a x + b)} = - \frac{1}{a} cot (a x + b) + C

$\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}(ax + b)}}} = - \frac{1}{a}\cot (ax + b) + C$ .
Áp dụng công thức với

a = - 3

$a = - 3$ và

b = 1

$b = 1$ , ta được:

\int \frac{d x}{{sin}^{2} (- 3 x + 1)} = - \frac{1}{- 3} cot (- 3 x + 1) + C = \frac{1}{3} cot (- 3 x + 1) + C

$\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}( - 3x + 1)}}} = - \frac{1}{{ - 3}}\cot ( - 3x + 1) + C = \frac{1}{3}\cot ( - 3x + 1) + C$

Câu 5:

Tính tích phân xác định $I = \int\limits_1^e {\frac{{dx}}{{2x(1 + {{\ln }^2}x)}}}$

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Đặt

t = ln x \Rightarrow d t = \frac{1}{x} d x

$t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx$ .

Đổi cận:

$\begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\ x = e \Rightarrow t = 1\end{array}$

Khi đó,

$I = \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{2(1 + {t^2})}}} = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}} = \frac{1}{2}arctan(t)\left. {\begin{array}{* {20}{c}}\ {} \\ {} \end{array}} \right|_0^1 = \frac{1}{2}(arctan(1) - arctan(0)) = \frac{1}{2}(\frac{\pi }{4} - 0) = \frac{\pi }{8}$

Câu 6:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ${x^2} - y = 0,\,{x^3} - y = 0$

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Câu 7:

Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng $\int\limits_0^4 {\frac{{dx}}{{x - 3}}}$

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Tích phân suy rộng $\int\limits_0^4 {\frac{{dx}}{{x - 3}}}$ có điểm kỳ dị tại x = 3 nằm trong khoảng tích phân [0, 4]. Do đó, ta cần xét sự hội tụ của tích phân này bằng cách tách nó thành tổng của hai tích phân:

$\int\limits_0^4 {\frac{{dx}}{{x - 3}}} = \int\limits_0^3 {\frac{{dx}}{{x - 3}}} + \int\limits_3^4 {\frac{{dx}}{{x - 3}}}$

Xét tích phân $\int\limits_0^3 {\frac{{dx}}{{x - 3}}}$ :

$\int\limits_0^3 {\frac{{dx}}{{x - 3}}} = \mathop {lim}\limits_{t \to {3^ - }} \int\limits_0^t {\frac{{dx}}{{x - 3}}} = \mathop {lim}\limits_{t \to {3^ - }} \left. {ln\left| {x - 3} \right|} \right|_0^t = \mathop {lim}\limits_{t \to {3^ - }} \left( {ln\left| {t - 3} \right| - ln\left| {0 - 3} \right|} \right) = \mathop {lim}\limits_{t \to {3^ - }} \left( {ln\left| {t - 3} \right| - ln3} \right) = - \infty$

Vì tích phân này phân kỳ, nên tích phân ban đầu cũng phân kỳ.

Câu 8:

Bán kính hội tụ của chuỗi $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{n^2}}}}$ là:

Lời giải: