Tính \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sin \frac{1}{x} + \cos \frac{1}{x}} \right)\]

Để tính giới hạn \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {x + {e^{2x}}} \right)^{\frac{1}{x}}}\] ta có thể sử dụng phương pháp logarit hóa.

Đặt \[y = {\left( {x + {e^{2x}}} \right)^{\frac{1}{x}}}\]

Lấy logarit tự nhiên hai vế, ta được:
\[\ln y = \ln {\left( {x + {e^{2x}}} \right)^{\frac{1}{x}}} = \frac{1}{x}\ln \left( {x + {e^{2x}}} \right) = \frac{{\ln \left( {x + {e^{2x}}} \right)}}{x}\]

Khi x tiến tới 0, ta có dạng \[\frac{0}{0}\] nên có thể áp dụng quy tắc L'Hopital:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {x + {e^{2x}}} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{1 + 2{e^{2x}}}}{{x + {e^{2x}}}}}}{1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + 2{e^{2x}}}}{{x + {e^{2x}}}}\]

Thay x = 0 vào, ta được:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + 2{e^{2x}}}}{{x + {e^{2x}}}} = \frac{{1 + 2{e^0}}}{{0 + {e^0}}} = \frac{{1 + 2}}{{0 + 1}} = 3\]

Vậy, \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln y = 3\]

Suy ra, \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y = {e^3}\]

Vậy \[I = {e^3}\]

Để tính giới hạn \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - {e^{ - x}} - 2x}}{{x - \sin x}}\) ta sử dụng khai triển Taylor cho các hàm số \(e^x\), \(e^{-x}\) và \(\sin x\) xung quanh điểm \(x = 0\).

Ta có:

\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + O(x^5)\)

\(e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + O(x^5)\)

\(\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + O(x^7)\)

Khi đó:

\(e^x - e^{-x} = (1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + ...) - (1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + ...) = 2x + \frac{2x^3}{6} + O(x^5) = 2x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)\)

\(e^x - e^{-x} - 2x = \frac{x^3}{3} + O(x^5)\)

\(x - \sin x = x - (x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + ...) = \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + O(x^7)\)

Vậy,

\(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{x^3}{3} + O(x^5)}}{{\frac{x^3}{6} + O(x^5)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{3} + O(x^2)}}{{\frac{1}{6} + O(x^2)}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{\frac{1}{6}}} = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2\)

Vậy giới hạn cần tìm là 2.

Để tính giới hạn này, ta sử dụng khai triển Taylor của các hàm số \(\cos x\) và \(\tan x\) quanh \(x = 0\). Ta có:

\(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + O(x^8)\)

\(\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)\)

Thay các khai triển này vào biểu thức giới hạn, ta được:

\(\begin{aligned} I &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - 2\cos x - {x^2} + 2{x^4}}}{{x\left( {x - \tan x} \right)}} \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - 2\left( {1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - O(x^6)} \right) - {x^2} + 2{x^4}}}{{x\left( {x - \left( {x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)} \right)} \right)}} \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - 2 + x^2 - \frac{x^4}{12} + O(x^6) - x^2 + 2x^4}}{{x\left( { - \frac{x^3}{3} - \frac{2x^5}{15} + O(x^7)} \right)}} \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {2 - \frac{1}{12}} \right)x^4 + O(x^6)}}{{ - \frac{x^4}{3} - \frac{2x^6}{15} + O(x^8)}} \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{23}}{12}x^4 + O(x^6)}}{{ - \frac{1}{3}x^4 + O(x^6)}} \\ &= \frac{{\frac{{23}}{12}}}{{ - \frac{1}{3}}} = - \frac{{23}}{12} \cdot 3 = - \frac{{23}}{4} \end{aligned}\)

Vậy, không có đáp án nào đúng trong các phương án đã cho. Có lẽ có lỗi trong đề bài hoặc các đáp án.

Để giải bài toán này, ta cần tìm mức sản lượng Q để xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. Lợi nhuận (π) được tính bằng doanh thu (TR) trừ đi tổng chi phí (C).

Bước 1: Tìm hàm doanh thu (TR)
Từ hàm cầu Q_D = 656 - (1/2)P, ta có P = 2(656 - Q) = 1312 - 2Q.
Doanh thu TR = P * Q = (1312 - 2Q)Q = 1312Q - 2Q^2.

Bước 2: Tìm hàm lợi nhuận (π)
Lợi nhuận π = TR - C = (1312Q - 2Q^2) - (Q^3 - 77Q^2 + 1000Q + 4000) = -Q^3 + 75Q^2 + 312Q - 4000.

Bước 3: Tìm Q để lợi nhuận tối đa
Để tìm Q tối đa hóa lợi nhuận, ta tìm đạo hàm bậc nhất của π theo Q và đặt nó bằng 0:
π' = -3Q^2 + 150Q + 312 = 0.
Giải phương trình bậc hai này, ta có thể sử dụng công thức nghiệm hoặc phương pháp khác. Tuy nhiên, ta có thể kiểm tra các đáp án đã cho.

Nếu Q = 50:
π' = -3(50)^2 + 150(50) + 312 = -7500 + 7500 + 312 = 312 > 0.

Nếu Q = 49:
π' = -3(49)^2 + 150(49) + 312 = -7203 + 7350 + 312 = 459 > 0.

Nếu Q = 52:
π' = -3(52)^2 + 150(52) + 312 = -8112 + 7800 + 312 = 0.
Tuy nhiên, để chắc chắn, ta cần xét đạo hàm bậc hai:
π'' = -6Q + 150
Khi Q = 52, π'' = -6*52 + 150 = -312 + 150 = -162 < 0. Vậy Q=52 có thể là điểm cực đại cục bộ

Để tìm giá trị chính xác, ta giải phương trình -3Q^2 + 150Q + 312 = 0 sử dụng công thức nghiệm:
Q = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)
Q = (-150 ± √(150^2 - 4*(-3)*312)) / (2*(-3))
Q = (-150 ± √(22500 + 3744)) / (-6)
Q = (-150 ± √26244) / (-6)
Q = (-150 ± 162) / (-6)
Ta có hai nghiệm: Q1 = (-150 + 162) / (-6) = -2 và Q2 = (-150 - 162) / (-6) = 52.
Vì Q phải dương, ta chọn Q = 52.

Vậy, mức sản lượng Q để xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa là Q = 52.

Để tìm số điểm uốn của đồ thị hàm số \(y = x.{e^{ - {x^2}}}\), ta cần tìm các điểm mà tại đó đạo hàm cấp hai đổi dấu.

1. Tính đạo hàm cấp nhất:
\(y' = {e^{ - {x^2}}} + x.{e^{ - {x^2}}}.( - 2x) = {e^{ - {x^2}}}(1 - 2{x^2})\)

2. Tính đạo hàm cấp hai:
\(y'' = - 2x{e^{ - {x^2}}}(1 - 2{x^2}) + {e^{ - {x^2}}}( - 4x) = {e^{ - {x^2}}}(4{x^3} - 6x)\)

3. Tìm các điểm mà \(y'' = 0\):
\({e^{ - {x^2}}}(4{x^3} - 6x) = 0\)
Vì \({e^{ - {x^2}}} > 0\) với mọi \(x\), nên ta chỉ cần giải:
\(4{x^3} - 6x = 0\)
\(2x(2{x^2} - 3) = 0\)
Suy ra \(x = 0\) hoặc \(2{x^2} = 3\) hay \({x^2} = \frac{3}{2}\)
Vậy \(x = 0\), \(x = \sqrt{\frac{3}{2}}\) hoặc \(x = - \sqrt{\frac{3}{2}}\)

4. Xét dấu của \(y''\):
Ta có 3 nghiệm phân biệt \( - \sqrt{\frac{3}{2}}\), \(0\), \(\sqrt{\frac{3}{2}}\) và \(y''\) là một hàm liên tục. Do đó, ta có thể xét dấu của \(y''\) trên các khoảng sau:
- \(( - \infty , - \sqrt{\frac{3}{2}})\): Chọn \(x = -2\), \(y'' = {e^{ - 4}}( - 32 + 12) = - 20{e^{ - 4}} < 0\)
- \(( - \sqrt{\frac{3}{2}},0)\): Chọn \(x = -1\), \(y'' = {e^{ - 1}}( - 4 + 6) = 2{e^{ - 1}} > 0\)
- \((0,\sqrt{\frac{3}{2}})\): Chọn \(x = 1\), \(y'' = {e^{ - 1}}(4 - 6) = - 2{e^{ - 1}} < 0\)
- \((\sqrt{\frac{3}{2}}, + \infty )\): Chọn \(x = 2\), \(y'' = {e^{ - 4}}(32 - 12) = 20{e^{ - 4}} > 0\)

Vì \(y''\) đổi dấu tại 3 điểm \(x = - \sqrt{\frac{3}{2}},0,\sqrt{\frac{3}{2}}\), nên đồ thị hàm số có 3 điểm uốn.