Trả lời:
Đáp án đúng: C
Để tìm y'(0), ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm y(0): Thay x = 0 vào phương trình ban đầu: y(y^2 + 1) + 0(0 + 1) = 0 => y(y^2 + 1) = 0. Điều này dẫn đến y = 0.
2. Tính đạo hàm hai vế theo x:
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm ẩn: d/dx [y(y^2 + 1) + x(x + 1)] = d/dx [0]
=> y'(y^2 + 1) + y(2yy') + (x + 1) + x = 0
=> y'(y^2 + 1) + 2y^2y' + 2x + 1 = 0
=> y'(y^2 + 1 + 2y^2) + 2x + 1 = 0
=> y'(3y^2 + 1) = -2x - 1
=> y' = (-2x - 1) / (3y^2 + 1)
3. Thay x = 0 và y = 0 vào biểu thức đạo hàm:
y'(0) = (-2(0) - 1) / (3(0)^2 + 1) = -1 / 1 = -1
Vậy, y'(0) = -1.