Khai triển Maclaurin của $f (x) = (x + 1) \ln (1 + x^{2} + 2 x)$ đến x³ là

A. $2 x + x^{2} - 3 x^{3} + o (x^{3})$

$2 x + x^{2} - \frac{x^{3}}{3} + o (x^{3})$

$2 x + x^{2} - \frac{5 x^{3}}{3} + o (x^{3})$

D. $2 x + x^{2} - 3 x^{3} + o (x^{2})$

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Ta có:

f (x) = (x + 1) \ln (1 + x^{2} + 2 x) = (x + 1) \ln {(x + 1)}^{2} = 2 (x + 1) \ln (x + 1)

Sử dụng khai triển Taylor cho

\ln (1 + x)

ta có:

\ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + o (x^{3})

Do đó,

\ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + o (x^{3})

f (x) = 2 (x + 1) (x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + o (x^{3}))

f (x) = 2 (x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - \frac{x^{3}}{2} + o (x^{3}))

f (x) = 2 x + x^{2} - \frac{x^{3}}{3} + o (x^{3})

100+ câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 1 có đáp án tham khảo - Phần 1

40 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 10:

Đồ thị của hàm số $y = x {e^{-}}^{x^{2}}$ có

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm điểm uốn của đồ thị hàm số

y = x e^{- x^{2}}

, ta cần tìm các điểm mà tại đó đạo hàm cấp hai đổi dấu.

1. Tính đạo hàm cấp nhất:

y' = e^{- x^{2}} + x . e^{- x^{2}} . (- 2 x) = e^{- x^{2}} (1 - 2 x^{2})

2. Tính đạo hàm cấp hai:

y " = e^{- x^{2}} (- 2 x) (1 - 2 x^{2}) + e^{- x^{2}} (- 4 x) = e^{- x^{2}} (4 x^{3} - 2 x - 4 x) = e^{- x^{2}} (4 x^{3} - 6 x) = 2 x e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 3)

3. Giải

y " = 0

2 x e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 3) = 0

Vì

e^{- x^{2}} > 0

với mọi x, nên ta có:

x = 0

hoặc

2 x^{2} - 3 = 0

<=>

x^{2} = \frac{3}{2}

<=>

x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}

Vậy, ta có 3 nghiệm phân biệt:

x = 0, x = \sqrt{\frac{3}{2}}, x = - \sqrt{\frac{3}{2}}

4. Xét dấu y''
Ta có 3 nghiệm đơn, nên y'' đổi dấu tại 3 điểm này. Vậy đồ thị hàm số có 3 điểm uốn.

Câu 11:

Hàm số 2 $y = x^{2} \ln (x)$

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm điểm cực trị của hàm số

y = x^{2} \ln (x)

, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm bậc nhất:

y' = 2 x \ln (x) + x^{2} . \frac{1}{x} = 2 x \ln (x) + x = x (2 \ln (x) + 1)

2. Giải phương trình $y' = 0$ :

x (2 \ln (x) + 1) = 0

Vì

x > 0

(do có

\ln (x)

), nên

x = 0

không phải là nghiệm.
Vậy,

2 \ln (x) + 1 = 0 \Rightarrow \ln (x) = - \frac{1}{2} \Rightarrow x = e^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}

3. Tìm đạo hàm bậc hai:

y " = 2 \ln (x) + 1 + 1 = 2 \ln (x) + 2

4. Xét dấu đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ :

y " (\frac{1}{\sqrt{e}}) = 2 \ln (\frac{1}{\sqrt{e}}) + 2 = 2 (- \frac{1}{2}) + 2 = - 1 + 2 = 1 > 0

Vì

y " (\frac{1}{\sqrt{e}}) > 0

, hàm số đạt cực tiểu tại

x = \frac{1}{\sqrt{e}}

.

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 12:

Tìm $α$ để $\lim_{n \to \infty} a_{n} = + \infty$ , với $a_{n} = \frac{\sqrt[3]{8 n^{3} + n + 1} - \sqrt[5]{n^{4} - 3 n^{2} + n - 2}}{n^{α + 2}}$

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có:

\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{8 n^{3} + n + 1}}{n^{1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n . \sqrt[3]{8 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n3}}}{n} = 2

\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[5]{n^{4} - 3 n^{2} + n - 2}}{n^{\frac{4}{5}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n . \sqrt[5]{1 - \frac{3}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}} - \frac{2}{n^{4}}}}{n} = 1

Do đó,

a_{n} \approx \frac{2 n - n}{n^{α + 2}} = \frac{n}{n^{α + 2}} = \frac{1}{n^{α + 1}}

Để

\lim_{n \to \infty} a_{n} = + \infty

thì

α + 1 < 0

hay

α < - 1

Câu 13:

Cho $\{\begin{cases} \sin (x \sqrt{1 + x^{2}}) x \leq 0 \\ 2 x - x^{2}, x > 0 \end{cases}$ ,tìm ${f_{+}}^{'} (0), {f^{'}}_{-} (0)$

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có:

*

{f^{'}}_{+} (0) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x - x^{2} - 0}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} (2 - x) = 2

{f^{'}}_{-} (0) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin (x \sqrt{1 + x^{2}}) - 0}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin (x \sqrt{1 + x^{2}})}{x} = 1

Vậy

{f_{+}}^{'} (0) = 2, {f^{'}}_{-} (0) = 1

Câu 14:

Tìm a để hàm số $y = a^{2} \cos (x) + 2 \cos (\frac{x}{2})$ đạt cực đại tại $x = \frac{π}{2}$

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để hàm số đạt cực đại tại

x = \frac{π}{2}

, ta cần tìm a sao cho đạo hàm bậc nhất của hàm số tại điểm đó bằng 0 và đạo hàm bậc hai nhỏ hơn 0.

Tính đạo hàm bậc nhất:

y' = - a^{2} \sin (x) - \sin (\frac{x}{2})

y' (\frac{π}{2}) = - a^{2} \sin (\frac{π}{2}) - \sin (\frac{π}{4}) = - a^{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0

a^{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}

(vô lý vì

a^{2}

không thể âm)

Tính đạo hàm bậc hai:

y " = - a^{2} \cos (x) - \frac{1}{2} \cos (\frac{x}{2})

y " (\frac{π}{2}) = - a^{2} \cos (\frac{π}{2}) - \frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) = 0 - \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{4} < 0

Điều kiện đạo hàm bậc hai âm luôn đúng tại

x = \frac{π}{2}

.

Vì không tồn tại a thỏa mãn đạo hàm bậc nhất bằng 0 tại

x = \frac{π}{2}

, nên không tồn tại a để hàm số đạt cực đại tại điểm đó.

Câu 15:

Tính $\lim_{n \to \infty} \frac{2^{n} + (n + 1) \cos (n)}{n^{4} + 3^{- n}}$

Lời giải: