Cho dãy $\{a_{n}\}, a_{n} = n^{α - 1} (\sqrt[3]{n^{5} + n} - \sqrt{n^{5} - 2 n})$ , kết luận nào dưới đây là đúng

A. $\lim_{n \to \infty} a_{n} = - \infty$ nếu $α > - \frac{3}{2}$

B. $\lim_{n \to \infty} a_{n} = - \infty$ nếu $α > 1$

C. $\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ nếu $α > 1$

D. $\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ nếu $α > - \frac{3}{2}$

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Để tìm giới hạn của dãy

a_{n} = n^{α - 1} (\sqrt[3]{n^{5} + n} - \sqrt{n^{5} - 2 n})

, ta cần đánh giá biểu thức trong ngoặc. Ta có:

\sqrt[3]{n^{5} + n} = n^{5 / 3} {(1 + \frac{1}{n^{4}})}^{1 / 3} = n^{5 / 3} (1 + \frac{1}{3 n^{4}} + o (\frac{1}{n^{4}})) = n^{5 / 3} + \frac{1}{3 n} + o (\frac{1}{n^{7 / 3}})

\sqrt{n^{5} - 2 n} = n^{5 / 2} {(1 - \frac{2}{n^{4}})}^{1 / 2} = n^{5 / 2} (1 - \frac{1}{n^{4}} + o (\frac{1}{n^{4}})) = n^{5 / 2} - \frac{1}{n^{3 / 2}} + o (\frac{1}{n^{3 / 2}})

Do đó,

\sqrt[3]{n^{5} + n} - \sqrt{n^{5} - 2 n} = n^{5 / 3} - n^{5 / 2} + o (n^{- 3 / 2})

Vì

5 / 3 < 5 / 2

n^{5 / 3} - n^{5 / 2} \approx - n^{5 / 2}

khi

n \to \infty

. Vậy,

a_{n} = n^{α - 1} (\sqrt[3]{n^{5} + n} - \sqrt{n^{5} - 2 n}) \approx - n^{α - 1 + 5 / 2} = - n^{α + 3 / 2}

. Để

\lim_{n \to \infty} a_{n} = - \infty

, ta cần

α + \frac{3}{2} > 0

, tức là

α > - \frac{3}{2}

. Vậy đáp án A là đúng.

100+ câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 1 có đáp án tham khảo - Phần 1

40 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 18:

Cho $x (t) = \ln (1 + \sin (t)), y = \cos (t), \frac{- π}{2} < t < \frac{π}{2}$ , tính y’(x) tại x = 0

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có:

x (t) = \ln (1 + \sin (t)) = > x^{'} (t) = \frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)}

y (t) = \cos (t) = > y^{'} (t) = - \sin (t)

y^{'} (x) = \frac{y^{'} (t)}{x^{'} (t)} = \frac{- \sin (t) (1 + \sin (t))}{\cos (t)}

Khi x = 0 thì

\ln (1 + \sin (t)) = 0 = > \sin (t) = 0 = > t = 0

Do đó,

y^{'} (x) |_{x = 0} = \frac{- \sin (0) (1 + \sin (0))}{\cos (0)} = \frac{0 \cdot 1}{1} = 0

Vậy không có đáp án nào đúng.

Câu 19:

Cho $f (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ tính $f^{(8)} (- 1)$

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có

f (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} = {(1 - x)}^{- 2}

f^{'} (x) = 2 {(1 - x)}^{- 3}

f^{''} (x) = 2.3 {(1 - x)}^{- 4}

f^{(3)} (x) = 2.3.4 {(1 - x)}^{- 5}

Suy ra

f^{(n)} (x) = (n + 1)! {(1 - x)}^{- n - 2}

Vậy

f^{(8)} (x) = 9! {(1 - x)}^{- 10}

\Rightarrow f^{(8)} (- 1) = 9! {(1 + 1)}^{- 10} = \frac{9!}{2^{10}}

Câu 1:

Tìm a, $α$ để VCB sau tương đương ax^α, khi x → 0

f (x) = $(x^{2} + 1) \sin (x) - \tan (x)$

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có:
f(x) = (x^2 + 1)sin(x) - tan(x)
= (x^2 + 1)(x - x^3/6 + o(x^3)) - (x + x^3/3 + o(x^3))
= x - x^3/6 + x^3 + o(x^3) - x - x^3/3 + o(x^3)
= (-1/6 + 1 - 1/3)x^3 + o(x^3)
= ( (-1+6-2)/6 ) x^3 + o(x^3)
= (3/6)x^3 + o(x^3)
= (1/2)x^3 + o(x^3)
Vậy f(x) ~ (1/2)x^3 khi x → 0. Suy ra a = 1/2 và α = 3.
Vậy đáp án đúng là A.

Câu 2:

Tìm a, $α$ để VCB sau tương đương ax^α , khi x → 0

f (x) = $x^{2} + x - \ln (1 + x)$

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm a và α sao cho f(x) tương đương với ax^α khi x → 0, ta cần sử dụng khai triển Taylor hoặc Maclaurin của ln(1+x) xung quanh x = 0.

Ta có khai triển Taylor của ln(1+x) là:
ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - ...

Khi đó:
f(x) = x² + x - ln(1+x) = x² + x - (x - x²/2 + x³/3 - ...)
= x² + x - x + x²/2 - x³/3 + ...
= (1 + 1/2)x² - x³/3 + ...
= (3/2)x² - x³/3 + ...

Khi x → 0, các số hạng bậc cao hơn (x³, x⁴, ...) trở nên không đáng kể so với số hạng bậc thấp nhất. Do đó, f(x) có thể được xấp xỉ bằng (3/2)x².

Vậy, f(x) tương đương với (3/2)x² khi x → 0. Điều này có nghĩa là a = 3/2 và α = 2.

Do đó, đáp án đúng là A.

Câu 3:

Tìm a, $α$ để VCB sau tương đương ax^α khi x → +∞

$f (x) = \sqrt[3]{x + \sqrt{x^{3} + x}} - \sqrt[3]{x}$

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm a và α sao cho f(x) tương đương với ax^α khi x → +∞, ta cần phân tích biểu thức f(x) và tìm giới hạn của f(x) / (ax^α) khi x → +∞.

Ta có: f(x) = ∛(x + √(x³ + x)) - ∛x

Để đơn giản, ta nhân và chia cho biểu thức liên hợp:

f(x) = [∛(x + √(x³ + x)) - ∛x] * [∛(x + √(x³ + x))² + ∛(x + √(x³ + x))∛x + ∛x²] / [∛(x + √(x³ + x))² + ∛(x + √(x³ + x))∛x + ∛x²]

f(x) = (x + √(x³ + x) - x) / [∛(x + √(x³ + x))² + ∛(x + √(x³ + x))∛x + ∛x²]

f(x) = √(x³ + x) / [∛(x + √(x³ + x))² + ∛(x + √(x³ + x))∛x + ∛x²]

Khi x → +∞, √(x³ + x) ≈ √(x³) = x^3/2

∛(x + √(x³ + x)) ≈ ∛(x + x^3/2) ≈ ∛(x^3/2) = x^1/2

Vậy, mẫu số ≈ (x^1/2)² + x^1/2 * x^1/3 + (x^1/3)² = x + x^5/6 + x^2/3 ≈ x

f(x) ≈ x^3/2 / (3x^2/3) ≈ x^3/2 / (3x) = x^1/2 / 3
Suy ra f(x) ≈ (1/3)*x^1/2
Do đó a = 1/3, α = 1/2. Không có đáp án nào đúng.

Câu 4:

Đạo hàm cấp 3 của

f (x) = (x^{2} + 1) \cos (2 x)

tại

π

/2 là

Lời giải: