Tìm a, $\alpha$ để VCB sau tương đương ax^α, khi x → 0

f (x) = $(x^2+1)\sin \left(x\right)-\tan \left(x\right)$

Để tìm a và α sao cho f(x) tương đương với ax^α khi x → 0, ta cần sử dụng khai triển Taylor hoặc Maclaurin của ln(1+x) xung quanh x = 0.

Ta có khai triển Taylor của ln(1+x) là:
ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - ...

Khi đó:
f(x) = x² + x - ln(1+x) = x² + x - (x - x²/2 + x³/3 - ...)
= x² + x - x + x²/2 - x³/3 + ...
= (1 + 1/2)x² - x³/3 + ...
= (3/2)x² - x³/3 + ...

Khi x → 0, các số hạng bậc cao hơn (x³, x⁴, ...) trở nên không đáng kể so với số hạng bậc thấp nhất. Do đó, f(x) có thể được xấp xỉ bằng (3/2)x².

Vậy, f(x) tương đương với (3/2)x² khi x → 0. Điều này có nghĩa là a = 3/2 và α = 2.

Do đó, đáp án đúng là A.

Để tìm a và α sao cho f(x) tương đương với ax^α khi x → +∞, ta cần phân tích biểu thức f(x) và tìm giới hạn của f(x) / (ax^α) khi x → +∞.

Ta có: f(x) = ∛(x + √(x³ + x)) - ∛x

Để đơn giản, ta nhân và chia cho biểu thức liên hợp:

f(x) = [∛(x + √(x³ + x)) - ∛x] * [∛(x + √(x³ + x))² + ∛(x + √(x³ + x))∛x + ∛x²] / [∛(x + √(x³ + x))² + ∛(x + √(x³ + x))∛x + ∛x²]

f(x) = (x + √(x³ + x) - x) / [∛(x + √(x³ + x))² + ∛(x + √(x³ + x))∛x + ∛x²]

f(x) = √(x³ + x) / [∛(x + √(x³ + x))² + ∛(x + √(x³ + x))∛x + ∛x²]

Khi x → +∞, √(x³ + x) ≈ √(x³) = x^3/2

∛(x + √(x³ + x)) ≈ ∛(x + x^3/2) ≈ ∛(x^3/2) = x^1/2

Vậy, mẫu số ≈ (x^1/2)² + x^1/2 * x^1/3 + (x^1/3)² = x + x^5/6 + x^2/3 ≈ x

f(x) ≈ x^3/2 / (3x^2/3) ≈ x^3/2 / (3x) = x^1/2 / 3
Suy ra f(x) ≈ (1/3)*x^1/2
Do đó a = 1/3, α = 1/2. Không có đáp án nào đúng.

Để tìm đạo hàm cấp 3 của hàm số f(x) = (x^2 + 1)cos(2x) tại x = π/2, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm cấp 1:
f'(x) = 2x*cos(2x) - 2(x^2 + 1)*sin(2x)

2. Tính đạo hàm cấp 2:
f''(x) = 2*cos(2x) - 4x*sin(2x) - 4x*sin(2x) - 4(x^2 + 1)*cos(2x)
f''(x) = 2*cos(2x) - 8x*sin(2x) - 4(x^2 + 1)*cos(2x)
f''(x) = (2 - 4x^2 - 4)*cos(2x) - 8x*sin(2x)
f''(x) = (-4x^2 - 2)*cos(2x) - 8x*sin(2x)

3. Tính đạo hàm cấp 3:
f'''(x) = (-8x)*cos(2x) + (4x^2 + 2)*2*sin(2x) - 8*sin(2x) - 16x*cos(2x)
f'''(x) = -24x*cos(2x) + (8x^2 + 4 - 8)*sin(2x)
f'''(x) = -24x*cos(2x) + (8x^2 - 4)*sin(2x)

4. Tính f'''(π/2):
f'''(π/2) = -24*(π/2)*cos(π) + (8*(π/2)^2 - 4)*sin(π)
f'''(π/2) = -12π*(-1) + (2π^2 - 4)*0
f'''(π/2) = 12π

Vậy, đạo hàm cấp 3 của f(x) tại x = π/2 là 12π.

Để hàm số liên tục tại x = -2, ta cần có:

lim (x→-2-) f(x) = lim (x→-2+) f(x) = f(-2)

Tính f(-2):
f(-2) = (-2)^2 + 4*(-2) = 4 - 8 = -4

Tính lim (x→-2-) f(x):
lim (x→-2-) f(x) = lim (x→-2-) (x^2 + 4x) = (-2)^2 + 4*(-2) = -4

Tính lim (x→-2+) f(x):
lim (x→-2+) f(x) = lim (x→-2+) [sin(x + 2) - ax] = sin(-2 + 2) - a*(-2) = sin(0) + 2a = 0 + 2a = 2a

Để hàm số liên tục tại x = -2, ta cần:
-4 = 2a
=> a = -2

Vậy, a = -2.

Để hàm số liên tục tại x = -2, ta cần có:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = f(-2)\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} (a{x^2} + 4x) = 4a - 8\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} (\sin (x + 2) + 2bx) = \sin (0) - 4b = - 4b\]
\[f(-2) = 4a - 8\]
Suy ra:
\[4a - 8 = - 4b \Leftrightarrow a + b = 2 \Leftrightarrow a = 2 - b\]
Để hàm số khả vi tại x = -2, ta cần có:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{f(x) - f( - 2)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{f(x) - f( - 2)}}{{x + 2}}\]
Tính đạo hàm:
\[f'(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2ax + 4,x < - 2}\\{\cos (x + 2) + 2b,x > - 2}\end{array}} \right.\]
Để hàm số khả vi tại x = -2, ta cần có:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f'(x)\]
\[ - 4a + 4 = \cos (0) + 2b \Leftrightarrow - 4a + 4 = 1 + 2b \Leftrightarrow - 4a - 2b = - 3\]
Thay a = 2 - b vào, ta được:
\[ - 4(2 - b) - 2b = - 3 \Leftrightarrow - 8 + 4b - 2b = - 3 \Leftrightarrow 2b = 5 \Leftrightarrow b = \frac{5}{2}\]
Suy ra:
\[a = 2 - \frac{5}{2} = - \frac{1}{2}\]
Vậy \[a = - \frac{1}{2},b = \frac{5}{2}\]