JavaScript is required

Tìm các tham số thực a, b để hàm số sau liên tục, khả vi tại x = - 2.

\[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a{x^2} + 4x,x \le - 2}\\{\sin \left( {x + 2} \right) + 2bx,x > - 2}\end{array}} \right.\]

A.

A. \[a = - \frac{1}{2},b = \frac{5}{2}\]

B.

B. \[a = \frac{1}{2},b = \frac{5}{2}\]

C.

C. \[a = \frac{2}{3},b = \frac{5}{3}\]

D.

D. \[a = - \frac{1}{3},b = \frac{7}{3}\]

Trả lời:

Đáp án đúng: A


Để hàm số liên tục tại x = -2, ta cần có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = f(-2)\] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} (a{x^2} + 4x) = 4a - 8\] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} (\sin (x + 2) + 2bx) = \sin (0) - 4b = - 4b\] \[f(-2) = 4a - 8\] Suy ra: \[4a - 8 = - 4b \Leftrightarrow a + b = 2 \Leftrightarrow a = 2 - b\] Để hàm số khả vi tại x = -2, ta cần có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{f(x) - f( - 2)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{f(x) - f( - 2)}}{{x + 2}}\] Tính đạo hàm: \[f'(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2ax + 4,x < - 2}\\{\cos (x + 2) + 2b,x > - 2}\end{array}} \right.\] Để hàm số khả vi tại x = -2, ta cần có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f'(x)\] \[ - 4a + 4 = \cos (0) + 2b \Leftrightarrow - 4a + 4 = 1 + 2b \Leftrightarrow - 4a - 2b = - 3\] Thay a = 2 - b vào, ta được: \[ - 4(2 - b) - 2b = - 3 \Leftrightarrow - 8 + 4b - 2b = - 3 \Leftrightarrow 2b = 5 \Leftrightarrow b = \frac{5}{2}\] Suy ra: \[a = 2 - \frac{5}{2} = - \frac{1}{2}\] Vậy \[a = - \frac{1}{2},b = \frac{5}{2}\]

Câu hỏi liên quan