Tìm kết luận đúng về tiệm cận của đường cong \[y = x - 2 + \frac{{\arctan \left( x \right)}}{x}?\]

Để tìm tiệm cận xiên của hàm số (C): \[y = \sqrt[3]{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}}\] ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm giới hạn của \(\frac{y}{x}\) khi x tiến tới vô cùng:
\[\mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \frac{y}{x} = \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}}}}{x} = \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \sqrt[3]{{\frac{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}}{{{x^3}}}}}= \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \sqrt[3]{{1 - \frac{2}{x}}} = 1\]
Vậy, a = 1.

2. Tìm giới hạn của \(y - ax\) khi x tiến tới vô cùng:
\[\mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}} - x} \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } x\left( {\sqrt[3]{{1 - \frac{2}{x}}} - 1} \right)\]
Đặt \(t = \frac{1}{x}\), khi \(x \to \infty \) thì \(t \to 0\).
\[\mathop {lim}\limits_{x \to \infty } x\left( {\sqrt[3]{{1 - \frac{2}{x}}} - 1} \right) = \mathop {lim}\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{1 - 2t}} - 1}}{t}\]
Sử dụng quy tắc L'Hopital:
\[\mathop {lim}\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{1 - 2t}} - 1}}{t} = \mathop {lim}\limits_{t \to 0} \frac{{\frac{1}{3}{{\left( {1 - 2t} \right)}^{ - \frac{2}{3}}}.\left( { - 2} \right)}}{1} = - \frac{2}{3}\]
Vậy, b = -2/3.

Do đó, tiệm cận xiên của hàm số là \[y = x - \frac{2}{3}\] hay \[y = - \frac{2}{3} + x\]
Vậy đáp án đúng là A.

Để hàm số f(x) có cực tiểu tại điểm (-1; 0), thì điểm này phải thuộc đồ thị hàm số và đạo hàm của hàm số tại x = -1 phải bằng 0, đồng thời đạo hàm cấp hai tại x = -1 phải dương.

Ta có f(x) = 2x³ + 3x² + ax + b
Vì f(x) có cực tiểu tại (-1; 0) nên:
1. f(-1) = 0
2. f'(-1) = 0

Tính f(-1) = 2(-1)³ + 3(-1)² + a(-1) + b = -2 + 3 - a + b = 1 - a + b = 0 => a - b = 1

Tính f'(x) = 6x² + 6x + a
=> f'(-1) = 6(-1)² + 6(-1) + a = 6 - 6 + a = a = 0

Thay a = 0 vào a - b = 1, ta được 0 - b = 1 => b = -1

Vậy a = 0 và b = -1.

Ta kiểm tra lại điều kiện đạo hàm cấp 2:
f''(x) = 12x + 6
f''(-1) = 12(-1) + 6 = -12 + 6 = -6 < 0
Vì f''(-1) < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -1, trái với giả thiết hàm số đạt cực tiểu tại x = -1. Vậy, không tồn tại a, b thỏa mãn.

Để hàm số liên tục tại $x_0 = 0$, ta cần kiểm tra điều kiện: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.

Ta có:
- $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x = 0$
- $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2x + 1) = 2(0) + 1 = 1$
- $f(0) = a$

Để hàm số liên tục tại $x_0 = 0$, ta cần $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$, tức là $0 = 1 = a$. Điều này không thể xảy ra, vì $0 \neq 1$.

Vậy không có giá trị nào của a để hàm số liên tục tại $x_0 = 0$. Do đó, đáp án đúng là "Đáp án khác".

Để tính giới hạn \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {x + {e^{2x}}} \right)^{\frac{1}{x}}}\] ta có thể sử dụng phương pháp logarit hóa.

Đặt \[y = {\left( {x + {e^{2x}}} \right)^{\frac{1}{x}}}\]

Lấy logarit tự nhiên hai vế, ta được:
\[\ln y = \ln {\left( {x + {e^{2x}}} \right)^{\frac{1}{x}}} = \frac{1}{x}\ln \left( {x + {e^{2x}}} \right) = \frac{{\ln \left( {x + {e^{2x}}} \right)}}{x}\]

Khi x tiến tới 0, ta có dạng \[\frac{0}{0}\] nên có thể áp dụng quy tắc L'Hopital:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {x + {e^{2x}}} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{1 + 2{e^{2x}}}}{{x + {e^{2x}}}}}}{1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + 2{e^{2x}}}}{{x + {e^{2x}}}}\]

Thay x = 0 vào, ta được:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + 2{e^{2x}}}}{{x + {e^{2x}}}} = \frac{{1 + 2{e^0}}}{{0 + {e^0}}} = \frac{{1 + 2}}{{0 + 1}} = 3\]

Vậy, \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln y = 3\]

Suy ra, \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y = {e^3}\]

Vậy \[I = {e^3}\]