Khi bơm không khí vào trong 1 quả bóng hình cầu đến lúc bán kính hình cầu là 2 cm thì người ta bắt đầu điều chỉnh để tốc độ bơm bóng là 8 cm³/s. Tính tốc độ tăng tương ứng của bán kính hình cầu.

\[\frac{1}{{2\pi }}\left( {0,16} \right){m^3}/s\]

\[\frac{1}{{2\pi }}\left( {0,16} \right)m/s\]

\[\frac{1}{{2\pi }}\left( {0,08} \right)m/s\]

\[\frac{1}{{2\pi }}\left( {0,08} \right){m^3}/s\]

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Thể tích hình cầu là $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Ta có $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$. Theo đề bài, $\frac{dV}{dt} = 8 \text{ cm}^3/s = 8 \times 10^{-6} \text{ m}^3/s$ và $r = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$. Khi đó, $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{4\pi r^2} \frac{dV}{dt} = \frac{1}{4\pi (0.02)^2} (8 \times 10^{-6}) = \frac{8 \times 10^{-6}}{4\pi (4 \times 10^{-4})} = \frac{2 \times 10^{-2}}{\pi} = \frac{0.02}{\pi} = \frac{1}{2\pi}(0.04) \text{ m/s}$. Kiểm tra lại các đáp án, ta thấy không có đáp án nào trùng khớp hoàn toàn với kết quả tính toán được. Tuy nhiên, đáp án C gần đúng nhất nếu ta có thể có một sai sót nhỏ trong quá trình tính toán hoặc đề bài. $\frac{1}{2\pi}(0.08)$ m/s. Như vậy, có lẽ đáp án gần đúng nhất là C, mặc dù có sự khác biệt nhỏ về hệ số.

100+ câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 1 có đáp án tham khảo - Phần 1

40 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 6:

Tìm y’(0) nếu y(x) là hàm ẩn xác định bởi pt: $y (y^{2} + 1) + x (x + 1) = 0$

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm y'(0), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm y(0): Thay x = 0 vào phương trình ban đầu: y(y^2 + 1) + 0(0 + 1) = 0 => y(y^2 + 1) = 0. Điều này dẫn đến y = 0.

2. Tính đạo hàm hai vế theo x:
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm ẩn: d/dx [y(y^2 + 1) + x(x + 1)] = d/dx [0]
=> y'(y^2 + 1) + y(2yy') + (x + 1) + x = 0
=> y'(y^2 + 1) + 2y^2y' + 2x + 1 = 0
=> y'(y^2 + 1 + 2y^2) + 2x + 1 = 0
=> y'(3y^2 + 1) = -2x - 1
=> y' = (-2x - 1) / (3y^2 + 1)

3. Thay x = 0 và y = 0 vào biểu thức đạo hàm:
y'(0) = (-2(0) - 1) / (3(0)^2 + 1) = -1 / 1 = -1

Vậy, y'(0) = -1.

Câu 7:

Cho f(x) = 2x.arcsin x. Giá trị của d²f(x) là

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm d²f(x), ta cần tính đạo hàm cấp hai của f(x) = 2x.arcsin(x).

Bước 1: Tính đạo hàm cấp nhất f'(x)
f'(x) = d(2x.arcsin(x))/dx = 2.arcsin(x) + 2x/(√(1-x²))

Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai f''(x)
f''(x) = d(2.arcsin(x) + 2x/(√(1-x²)))/dx = 2/(√(1-x²)) + 2/(√(1-x²)) + (2x²)/(1-x²)^3/2 + 2/(1-x²)^3/2
= 4/(√(1-x²)) + (2x² + 2)/(1-x²)^3/2
= 4/(√(1-x²)) + 2(x² + 1)/(1-x²)^3/2
= (4(1-x²) + 2(x²+1))/(1-x²)^3/2 / √(1-x²)
= (4 - 4x² + 2x² + 2)/(1-x²)^3/2 = (6 - 2x²)/(1-x²)^3/2

d²f(x) = f''(x) dx² = ((6 - 2x²)/(1-x²)^3/2)dx²

Không có đáp án nào trùng khớp với kết quả tính toán đạo hàm bậc hai ở trên.

Câu 8:

Tính $\lim_{x \to \infty} \sqrt[n]{2 n + \ln (n)}$

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tính giới hạn

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2 n + \ln (n)}

, ta có thể sử dụng phương pháp sau:

Đặt

a_{n} = \sqrt[n]{2 n + \ln (n)} = {(2 n + \ln (n))}^{\frac{1}{n}}

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế:

\ln (a_{n}) = \frac{1}{n} \ln (2 n + \ln (n)) = \frac{\ln (2 n + \ln (n))}{n}

Tính giới hạn của

\ln (a_{n})

khi

n \to \infty

\lim_{n \to \infty} \frac{\ln (2 n + \ln (n))}{n}

Áp dụng quy tắc L'Hôpital (vì giới hạn có dạng

\frac{\infty}{\infty}

\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 + \frac{1}{n}}{2 n + \ln (n)}}{1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{2 n + \ln (n)} = 0

Vì

\lim_{n \to \infty} \ln (a_{n}) = 0

, suy ra:

\lim_{n \to \infty} a_{n} = e^{0} = 1

Vậy,

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2 n + \ln (n)} = 1

Câu 9:

Khai triển Maclaurin của $f (x) = (x + 1) \ln (1 + x^{2} + 2 x)$ đến x³ là

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có:

f (x) = (x + 1) \ln (1 + x^{2} + 2 x) = (x + 1) \ln {(x + 1)}^{2} = 2 (x + 1) \ln (x + 1)

Sử dụng khai triển Taylor cho

\ln (1 + x)

ta có:

\ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + o (x^{3})

Do đó,

\ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + o (x^{3})

f (x) = 2 (x + 1) (x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + o (x^{3}))

f (x) = 2 (x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - \frac{x^{3}}{2} + o (x^{3}))

f (x) = 2 x + x^{2} - \frac{x^{3}}{3} + o (x^{3})

Câu 10:

Đồ thị của hàm số $y = x {e^{-}}^{x^{2}}$ có

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm điểm uốn của đồ thị hàm số

y = x e^{- x^{2}}

, ta cần tìm các điểm mà tại đó đạo hàm cấp hai đổi dấu.

1. Tính đạo hàm cấp nhất:

y' = e^{- x^{2}} + x . e^{- x^{2}} . (- 2 x) = e^{- x^{2}} (1 - 2 x^{2})

2. Tính đạo hàm cấp hai:

y " = e^{- x^{2}} (- 2 x) (1 - 2 x^{2}) + e^{- x^{2}} (- 4 x) = e^{- x^{2}} (4 x^{3} - 2 x - 4 x) = e^{- x^{2}} (4 x^{3} - 6 x) = 2 x e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 3)

3. Giải

y " = 0

2 x e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 3) = 0

Vì

e^{- x^{2}} > 0

với mọi x, nên ta có:

x = 0

hoặc

2 x^{2} - 3 = 0

<=>

x^{2} = \frac{3}{2}

<=>

x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}

Vậy, ta có 3 nghiệm phân biệt:

x = 0, x = \sqrt{\frac{3}{2}}, x = - \sqrt{\frac{3}{2}}

4. Xét dấu y''
Ta có 3 nghiệm đơn, nên y'' đổi dấu tại 3 điểm này. Vậy đồ thị hàm số có 3 điểm uốn.

Câu 11:

Hàm số 2 $y = x^{2} \ln (x)$

Lời giải: