Một xí nghiệp sản xuất độc quyển một loại sản phẩm. Biết hàm cầu \[{Q_D} = 656 - \frac{1}{2}P\left( P \right)\] là đơn giá và hàm tổng chi phí là \[C = {Q^3} - 77.{Q^2} + 1000Q + 4000\] (Q là sản lượng). Xác định mức sản lượng Q để xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa?

Để giải bài toán này, ta cần tìm mức sản lượng Q để xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. Lợi nhuận (π) được tính bằng doanh thu (TR) trừ đi tổng chi phí (C). Bước 1: Tìm hàm doanh thu (TR) Từ hàm cầu Q_D = 656 - (1/2)P, ta có P = 2(656 - Q) = 1312 - 2Q. Doanh thu TR = P * Q = (1312 - 2Q)Q = 1312Q - 2Q^2. Bước 2: Tìm hàm lợi nhuận (π) Lợi nhuận π = TR - C = (1312Q - 2Q^2) - (Q^3 - 77Q^2 + 1000Q + 4000) = -Q^3 + 75Q^2 + 312Q - 4000. Bước 3: Tìm Q để lợi nhuận tối đa Để tìm Q tối đa hóa lợi nhuận, ta tìm đạo hàm bậc nhất của π theo Q và đặt nó bằng 0: π' = -3Q^2 + 150Q + 312 = 0. Giải phương trình bậc hai này, ta có thể sử dụng công thức nghiệm hoặc phương pháp khác. Tuy nhiên, ta có thể kiểm tra các đáp án đã cho. Nếu Q = 50: π' = -3(50)^2 + 150(50) + 312 = -7500 + 7500 + 312 = 312 > 0. Nếu Q = 49: π' = -3(49)^2 + 150(49) + 312 = -7203 + 7350 + 312 = 459 > 0. Nếu Q = 52: π' = -3(52)^2 + 150(52) + 312 = -8112 + 7800 + 312 = 0. Tuy nhiên, để chắc chắn, ta cần xét đạo hàm bậc hai: π'' = -6Q + 150 Khi Q = 52, π'' = -6*52 + 150 = -312 + 150 = -162 < 0. Vậy Q=52 có thể là điểm cực đại cục bộ Để tìm giá trị chính xác, ta giải phương trình -3Q^2 + 150Q + 312 = 0 sử dụng công thức nghiệm: Q = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) Q = (-150 ± √(150^2 - 4*(-3)*312)) / (2*(-3)) Q = (-150 ± √(22500 + 3744)) / (-6) Q = (-150 ± √26244) / (-6) Q = (-150 ± 162) / (-6) Ta có hai nghiệm: Q1 = (-150 + 162) / (-6) = -2 và Q2 = (-150 - 162) / (-6) = 52. Vì Q phải dương, ta chọn Q = 52. Vậy, mức sản lượng Q để xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa là Q = 52.