Tính \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - 2\cos x - {x^2} + 2{x^4}}}{{x\left( {x - \tan x} \right)}}\]

Để giải bài toán này, ta cần tìm mức sản lượng Q để xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. Lợi nhuận (π) được tính bằng doanh thu (TR) trừ đi tổng chi phí (C).

Bước 1: Tìm hàm doanh thu (TR)
Từ hàm cầu Q_D = 656 - (1/2)P, ta có P = 2(656 - Q) = 1312 - 2Q.
Doanh thu TR = P * Q = (1312 - 2Q)Q = 1312Q - 2Q^2.

Bước 2: Tìm hàm lợi nhuận (π)
Lợi nhuận π = TR - C = (1312Q - 2Q^2) - (Q^3 - 77Q^2 + 1000Q + 4000) = -Q^3 + 75Q^2 + 312Q - 4000.

Bước 3: Tìm Q để lợi nhuận tối đa
Để tìm Q tối đa hóa lợi nhuận, ta tìm đạo hàm bậc nhất của π theo Q và đặt nó bằng 0:
π' = -3Q^2 + 150Q + 312 = 0.
Giải phương trình bậc hai này, ta có thể sử dụng công thức nghiệm hoặc phương pháp khác. Tuy nhiên, ta có thể kiểm tra các đáp án đã cho.

Nếu Q = 50:
π' = -3(50)^2 + 150(50) + 312 = -7500 + 7500 + 312 = 312 > 0.

Nếu Q = 49:
π' = -3(49)^2 + 150(49) + 312 = -7203 + 7350 + 312 = 459 > 0.

Nếu Q = 52:
π' = -3(52)^2 + 150(52) + 312 = -8112 + 7800 + 312 = 0.
Tuy nhiên, để chắc chắn, ta cần xét đạo hàm bậc hai:
π'' = -6Q + 150
Khi Q = 52, π'' = -6*52 + 150 = -312 + 150 = -162 < 0. Vậy Q=52 có thể là điểm cực đại cục bộ

Để tìm giá trị chính xác, ta giải phương trình -3Q^2 + 150Q + 312 = 0 sử dụng công thức nghiệm:
Q = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)
Q = (-150 ± √(150^2 - 4*(-3)*312)) / (2*(-3))
Q = (-150 ± √(22500 + 3744)) / (-6)
Q = (-150 ± √26244) / (-6)
Q = (-150 ± 162) / (-6)
Ta có hai nghiệm: Q1 = (-150 + 162) / (-6) = -2 và Q2 = (-150 - 162) / (-6) = 52.
Vì Q phải dương, ta chọn Q = 52.

Vậy, mức sản lượng Q để xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa là Q = 52.

Để tìm số điểm uốn của đồ thị hàm số \(y = x.{e^{ - {x^2}}}\), ta cần tìm các điểm mà tại đó đạo hàm cấp hai đổi dấu.

1. Tính đạo hàm cấp nhất:
\(y' = {e^{ - {x^2}}} + x.{e^{ - {x^2}}}.( - 2x) = {e^{ - {x^2}}}(1 - 2{x^2})\)

2. Tính đạo hàm cấp hai:
\(y'' = - 2x{e^{ - {x^2}}}(1 - 2{x^2}) + {e^{ - {x^2}}}( - 4x) = {e^{ - {x^2}}}(4{x^3} - 6x)\)

3. Tìm các điểm mà \(y'' = 0\):
\({e^{ - {x^2}}}(4{x^3} - 6x) = 0\)
Vì \({e^{ - {x^2}}} > 0\) với mọi \(x\), nên ta chỉ cần giải:
\(4{x^3} - 6x = 0\)
\(2x(2{x^2} - 3) = 0\)
Suy ra \(x = 0\) hoặc \(2{x^2} = 3\) hay \({x^2} = \frac{3}{2}\)
Vậy \(x = 0\), \(x = \sqrt{\frac{3}{2}}\) hoặc \(x = - \sqrt{\frac{3}{2}}\)

4. Xét dấu của \(y''\):
Ta có 3 nghiệm phân biệt \( - \sqrt{\frac{3}{2}}\), \(0\), \(\sqrt{\frac{3}{2}}\) và \(y''\) là một hàm liên tục. Do đó, ta có thể xét dấu của \(y''\) trên các khoảng sau:
- \(( - \infty , - \sqrt{\frac{3}{2}})\): Chọn \(x = -2\), \(y'' = {e^{ - 4}}( - 32 + 12) = - 20{e^{ - 4}} < 0\)
- \(( - \sqrt{\frac{3}{2}},0)\): Chọn \(x = -1\), \(y'' = {e^{ - 1}}( - 4 + 6) = 2{e^{ - 1}} > 0\)
- \((0,\sqrt{\frac{3}{2}})\): Chọn \(x = 1\), \(y'' = {e^{ - 1}}(4 - 6) = - 2{e^{ - 1}} < 0\)
- \((\sqrt{\frac{3}{2}}, + \infty )\): Chọn \(x = 2\), \(y'' = {e^{ - 4}}(32 - 12) = 20{e^{ - 4}} > 0\)

Vì \(y''\) đổi dấu tại 3 điểm \(x = - \sqrt{\frac{3}{2}},0,\sqrt{\frac{3}{2}}\), nên đồ thị hàm số có 3 điểm uốn.

Thể tích hình cầu là $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Ta có $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$.

Theo đề bài, $\frac{dV}{dt} = 8 \text{ cm}^3/s = 8 \times 10^{-6} \text{ m}^3/s$ và $r = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$.

Khi đó, $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{4\pi r^2} \frac{dV}{dt} = \frac{1}{4\pi (0.02)^2} (8 \times 10^{-6}) = \frac{8 \times 10^{-6}}{4\pi (4 \times 10^{-4})} = \frac{2 \times 10^{-2}}{\pi} = \frac{0.02}{\pi} = \frac{1}{2\pi}(0.04) \text{ m/s}$.

Kiểm tra lại các đáp án, ta thấy không có đáp án nào trùng khớp hoàn toàn với kết quả tính toán được. Tuy nhiên, đáp án C gần đúng nhất nếu ta có thể có một sai sót nhỏ trong quá trình tính toán hoặc đề bài.
$\frac{1}{2\pi}(0.08)$ m/s.

Như vậy, có lẽ đáp án gần đúng nhất là C, mặc dù có sự khác biệt nhỏ về hệ số.

Để tìm y'(0), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm y(0): Thay x = 0 vào phương trình ban đầu: y(y^2 + 1) + 0(0 + 1) = 0 => y(y^2 + 1) = 0. Điều này dẫn đến y = 0.

2. Tính đạo hàm hai vế theo x:
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm ẩn: d/dx [y(y^2 + 1) + x(x + 1)] = d/dx [0]
=> y'(y^2 + 1) + y(2yy') + (x + 1) + x = 0
=> y'(y^2 + 1) + 2y^2y' + 2x + 1 = 0
=> y'(y^2 + 1 + 2y^2) + 2x + 1 = 0
=> y'(3y^2 + 1) = -2x - 1
=> y' = (-2x - 1) / (3y^2 + 1)

3. Thay x = 0 và y = 0 vào biểu thức đạo hàm:
y'(0) = (-2(0) - 1) / (3(0)^2 + 1) = -1 / 1 = -1

Vậy, y'(0) = -1.

Để tìm d²f(x), ta cần tính đạo hàm cấp hai của f(x) = 2x.arcsin(x).

Bước 1: Tính đạo hàm cấp nhất f'(x)
f'(x) = d(2x.arcsin(x))/dx = 2.arcsin(x) + 2x/(√(1-x²))

Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai f''(x)
f''(x) = d(2.arcsin(x) + 2x/(√(1-x²)))/dx = 2/(√(1-x²)) + 2/(√(1-x²)) + (2x²)/(1-x²)^3/2 + 2/(1-x²)^3/2
= 4/(√(1-x²)) + (2x² + 2)/(1-x²)^3/2
= 4/(√(1-x²)) + 2(x² + 1)/(1-x²)^3/2
= (4(1-x²) + 2(x²+1))/(1-x²)^3/2 / √(1-x²)
= (4 - 4x² + 2x² + 2)/(1-x²)^3/2 = (6 - 2x²)/(1-x²)^3/2

d²f(x) = f''(x) dx² = ((6 - 2x²)/(1-x²)^3/2)dx²

Không có đáp án nào trùng khớp với kết quả tính toán đạo hàm bậc hai ở trên.