JavaScript is required

Tính \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - 2\cos x - {x^2} + 2{x^4}}}{{x\left( {x - \tan x} \right)}}\]

A.

I = 2

B.

\[I = \frac{{23}}{9}\]

C.

\[I = - \frac{{23}}{5}\]

D.

Đáp án khác

Trả lời:

Đáp án đúng: D


Để tính giới hạn này, ta sử dụng khai triển Taylor của các hàm số \(\cos x\) và \(\tan x\) quanh \(x = 0\). Ta có: \(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + O(x^8)\) \(\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)\) Thay các khai triển này vào biểu thức giới hạn, ta được: \(\begin{aligned} I &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - 2\cos x - {x^2} + 2{x^4}}}{{x\left( {x - \tan x} \right)}} \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - 2\left( {1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - O(x^6)} \right) - {x^2} + 2{x^4}}}{{x\left( {x - \left( {x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)} \right)} \right)}} \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - 2 + x^2 - \frac{x^4}{12} + O(x^6) - x^2 + 2x^4}}{{x\left( { - \frac{x^3}{3} - \frac{2x^5}{15} + O(x^7)} \right)}} \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {2 - \frac{1}{12}} \right)x^4 + O(x^6)}}{{ - \frac{x^4}{3} - \frac{2x^6}{15} + O(x^8)}} \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{23}}{12}x^4 + O(x^6)}}{{ - \frac{1}{3}x^4 + O(x^6)}} \\ &= \frac{{\frac{{23}}{12}}}{{ - \frac{1}{3}}} = - \frac{{23}}{12} \cdot 3 = - \frac{{23}}{4} \end{aligned}\) Vậy, không có đáp án nào đúng trong các phương án đã cho. Có lẽ có lỗi trong đề bài hoặc các đáp án.

Câu hỏi liên quan