Hàm số (C): \[y = \sqrt[3]{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}}\] nhận đường thẳng nào sau đây làm tiệm cận xiên?
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Để tìm tiệm cận xiên của hàm số (C): \[y = \sqrt[3]{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}}\] ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm giới hạn của \(\frac{y}{x}\) khi x tiến tới vô cùng:
\[\mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \frac{y}{x} = \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}}}}{x} = \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \sqrt[3]{{\frac{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}}{{{x^3}}}}}= \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \sqrt[3]{{1 - \frac{2}{x}}} = 1\]
Vậy, a = 1.
2. Tìm giới hạn của \(y - ax\) khi x tiến tới vô cùng:
\[\mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}} - x} \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } x\left( {\sqrt[3]{{1 - \frac{2}{x}}} - 1} \right)\]
Đặt \(t = \frac{1}{x}\), khi \(x \to \infty \) thì \(t \to 0\).
\[\mathop {lim}\limits_{x \to \infty } x\left( {\sqrt[3]{{1 - \frac{2}{x}}} - 1} \right) = \mathop {lim}\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{1 - 2t}} - 1}}{t}\]
Sử dụng quy tắc L'Hopital:
\[\mathop {lim}\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{1 - 2t}} - 1}}{t} = \mathop {lim}\limits_{t \to 0} \frac{{\frac{1}{3}{{\left( {1 - 2t} \right)}^{ - \frac{2}{3}}}.\left( { - 2} \right)}}{1} = - \frac{2}{3}\]
Vậy, b = -2/3.
Do đó, tiệm cận xiên của hàm số là \[y = x - \frac{2}{3}\] hay \[y = - \frac{2}{3} + x\]
Vậy đáp án đúng là A.