Hàm số (C): \[y = \sqrt[3]{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}}\] nhận đường thẳng nào sau đây làm tiệm cận xiên?

Tìm a, b để \[f\left( x \right) = 2{x^3} + 3{x^2} + ax + b\] có cực tiểu tại (-1; 0)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để hàm số f(x) có cực tiểu tại điểm (-1; 0), thì điểm này phải thuộc đồ thị hàm số và đạo hàm của hàm số tại x = -1 phải bằng 0, đồng thời đạo hàm cấp hai tại x = -1 phải dương.

Ta có f(x) = 2x³ + 3x² + ax + b
Vì f(x) có cực tiểu tại (-1; 0) nên:
1. f(-1) = 0
2. f'(-1) = 0

Tính f(-1) = 2(-1)³ + 3(-1)² + a(-1) + b = -2 + 3 - a + b = 1 - a + b = 0 => a - b = 1

Tính f'(x) = 6x² + 6x + a
=> f'(-1) = 6(-1)² + 6(-1) + a = 6 - 6 + a = a = 0

Thay a = 0 vào a - b = 1, ta được 0 - b = 1 => b = -1

Vậy a = 0 và b = -1.

Ta kiểm tra lại điều kiện đạo hàm cấp 2:
f''(x) = 12x + 6
f''(-1) = 12(-1) + 6 = -12 + 6 = -6 < 0
Vì f''(-1) < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -1, trái với giả thiết hàm số đạt cực tiểu tại x = -1. Vậy, không tồn tại a, b thỏa mãn.

Câu 27:

Tìm a để hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 1\,\,x > 0}\\{\,x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x < 0\,\,\,\,\,\,}\\{\,\,a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0}\end{array}} \right.\] liên tục tại x₀= 0

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để hàm số liên tục tại $x_0 = 0$, ta cần kiểm tra điều kiện: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.

Ta có:
- $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x = 0$
- $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2x + 1) = 2(0) + 1 = 1$
- $f(0) = a$

Để hàm số liên tục tại $x_0 = 0$, ta cần $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$, tức là $0 = 1 = a$. Điều này không thể xảy ra, vì $0 \neq 1$.

Vậy không có giá trị nào của a để hàm số liên tục tại $x_0 = 0$. Do đó, đáp án đúng là "Đáp án khác".

Câu 28:

Tính \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sin \frac{1}{x} + \cos \frac{1}{x}} \right)\]

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Hàm số $\sin \frac{1}{x}$ và $\cos \frac{1}{x}$ không có giới hạn khi $x \to 0$ . Do đó, biểu thức $\sin \frac{1}{x} + \cos \frac{1}{x}$ cũng không có giới hạn khi $x \to 0$ .

Vậy, không tồn tại giới hạn của biểu thức đã cho.

Trong các đáp án không có đáp án nào đúng.

Câu 29:

Tính \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {x + {e^{2x}}} \right)^{\frac{1}{x}}}\]

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tính giới hạn \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {x + {e^{2x}}} \right)^{\frac{1}{x}}}\] ta có thể sử dụng phương pháp logarit hóa.

Đặt \[y = {\left( {x + {e^{2x}}} \right)^{\frac{1}{x}}}\]

Lấy logarit tự nhiên hai vế, ta được:
\[\ln y = \ln {\left( {x + {e^{2x}}} \right)^{\frac{1}{x}}} = \frac{1}{x}\ln \left( {x + {e^{2x}}} \right) = \frac{{\ln \left( {x + {e^{2x}}} \right)}}{x}\]

Khi x tiến tới 0, ta có dạng \[\frac{0}{0}\] nên có thể áp dụng quy tắc L'Hopital:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {x + {e^{2x}}} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{1 + 2{e^{2x}}}}{{x + {e^{2x}}}}}}{1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + 2{e^{2x}}}}{{x + {e^{2x}}}}\]

Thay x = 0 vào, ta được:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + 2{e^{2x}}}}{{x + {e^{2x}}}} = \frac{{1 + 2{e^0}}}{{0 + {e^0}}} = \frac{{1 + 2}}{{0 + 1}} = 3\]

Vậy, \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln y = 3\]

Suy ra, \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y = {e^3}\]

Vậy \[I = {e^3}\]

Câu 30:

Tính giới hạn \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - {e^{ - x}} - 2x}}{{x - \sin x}}\]

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính giới hạn $I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - {e^{ - x}} - 2x}}{{x - \sin x}}$ ta sử dụng khai triển Taylor cho các hàm số $e^x$, $e^{-x}$ và $\sin x$ xung quanh điểm $x = 0$.

Ta có:

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + O(x^5)$

$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + O(x^5)$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + O(x^7)$

Khi đó:

$e^x - e^{-x} = (1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + ...) - (1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + ...) = 2x + \frac{2x^3}{6} + O(x^5) = 2x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$

$e^x - e^{-x} - 2x = \frac{x^3}{3} + O(x^5)$

$x - \sin x = x - (x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + ...) = \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + O(x^7)$

Vậy,

$I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{x^3}{3} + O(x^5)}}{{\frac{x^3}{6} + O(x^5)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{3} + O(x^2)}}{{\frac{1}{6} + O(x^2)}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{\frac{1}{6}}} = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$

Vậy giới hạn cần tìm là 2.

Câu 31:

Tính \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - 2\cos x - {x^2} + 2{x^4}}}{{x\left( {x - \tan x} \right)}}\]

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 32:

Một xí nghiệp sản xuất độc quyển một loại sản phẩm. Biết hàm cầu \[{Q_D} = 656 - \frac{1}{2}P\left( P \right)\] là đơn giá và hàm tổng chi phí là \[C = {Q^3} - 77.{Q^2} + 1000Q + 4000\] (Q là sản lượng). Xác định mức sản lượng Q để xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa?

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 33:

Đồ thị của hàm số \[y = x.{e^{ - {x^2}}}\] có:

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 34:

Khi bơm không khí vào trong 1 quả bóng hình cầu đến lúc bán kính hình cầu là 2 cm thì người ta bắt đầu điều chỉnh để tốc độ bơm bóng là 8 cm³/s. Tính tốc độ tăng tương ứng của bán kính hình cầu.

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 6:

Tìm y’(0) nếu y(x) là hàm ẩn xác định bởi pt: $y (y^{2} + 1) + x (x + 1) = 0$