Tính $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{(1+x^2)}^{{\displaystyle \frac{1}{x}}+1}-1}{x}$

Đặt $y = (x^2+2)^x$.

Lấy logarit tự nhiên hai vế, ta được:

$\ln y = x \ln(x^2+2)$.

Lấy vi phân hai vế, ta có:

$\frac{dy}{y} = \ln(x^2+2) dx + x \cdot \frac{2x}{x^2+2} dx = \left[\ln(x^2+2) + \frac{2x^2}{x^2+2}\right] dx$.

Do đó,

$dy = \left[\ln(x^2+2) + \frac{2x^2}{x^2+2}\right] y dx = \left[\ln(x^2+2) + \frac{2x^2}{x^2+2}\right] (x^2+2)^x dx$.

Vậy, đáp án đúng là B.

Khi x → 0, ta có sin(x) ~ x và tan(x) ~ x.
Ta cần tìm vô cùng bé tương đương với sin(x² + 2x).
Vì x → 0, nên x² + 2x → 0.
Do đó, sin(x² + 2x) ~ x² + 2x.
Xét các phương án:
A. x*tan(x+2) ~ x*(x+2) = x² + 2x. Như vậy, phương án A tương đương với sin(x² + 2x) khi x → 0.
B. tan(x + 2x²) ~ x + 2x². Phương án này không tương đương với x² + 2x khi x → 0.
C. tan(3x² + 2x) ~ 3x² + 2x. Phương án này không tương đương với x² + 2x khi x → 0.
D. x*sin(x+2) ~ x*(x+2) = x² + 2x. Như vậy, phương án D tương đương với sin(x² + 2x) khi x → 0.
Tuy nhiên, phương án A có vẻ chính xác hơn. Khi x->0 thì tan(x+2) -> tan(2) là 1 hằng số. Do đó x*tan(x+2) không tương đương với x^2 + 2x. Phương án D cũng tương tự.

Ta sẽ xét lại phương án A và D:
A. x*tan(x+2) không tương đương với x² + 2x
D. x*sin(x+2) không tương đương với x² + 2x

Bây giờ ta xét phương án B và C.
B. tan(x + 2x²) ~ x + 2x² không tương đương với x² + 2x
C. tan(3x² + 2x) ~ 3x² + 2x không tương đương với x² + 2x

Như vậy, không có đáp án nào đúng. Tuy nhiên nếu ta xét:
sin(x^2+2x) ~ x^2+2x = x(x+2)
Với đáp án D: xsin(x+2) ~ x(sin(2)) ~ x. Đáp án này không tương đương
Với đáp án A: xtan(x+2) ~ x tan(2) ~ x. Đáp án này cũng không tương đương
Với đáp án B: tan(x+2x^2) ~ x+2x^2 ~ x. Đáp án này cũng không tương đương
Với đáp án C: tan(3x^2+2x) ~ 3x^2+2x = x(3x+2) ~ 2x. Đáp án này cũng không tương đương
Vậy không có đáp án nào đúng.
Nhưng nếu đề bài là x -> 0, thì sin(x^2+2x) ~ x^2 + 2x = x(x+2). Nếu x rất bé thì x^2 << x => x^2+2x ~ 2x.
Nếu đề bài là x->0+ (x dần đến 0 từ bên phải) thì x>0.
Xét đáp án C: tan(3x^2+2x) ~ 3x^2+2x = x(3x+2) ~ 2x. Vậy đáp án C có vẻ đúng nhất.

Để hàm số xác định trên đoạn [-1;3], biểu thức dưới dấu căn phải không âm và mẫu số (nếu có) phải khác 0 trên đoạn này.

* Đáp án A:\( \sqrt{-x^2 + 3x - 2} \). Ta có \( -x^2 + 3x - 2 \ge 0 \) khi \( 1 \le x \le 2 \). Vậy hàm số xác định trên đoạn [1;2], là một tập con của [-1;3]. Do đó, A đúng.

* Đáp án B: \( \sqrt{\frac{x-1}{3-x}} \). Ta có \( \frac{x-1}{3-x} \ge 0 \) khi \( 1 \le x < 3 \). Vậy hàm số xác định trên nửa khoảng [1;3), không phải trên đoạn [-1,3]. Do đó, B sai.

* Đáp án C: \( \ln\left(\frac{4-x}{x-5}\right) \). Ta có \( \frac{4-x}{x-5} > 0 \) khi \( 4 > x > 5 \), điều này không thể xảy ra. Vậy hàm số không xác định trên đoạn [-1,3]. Do đó, C sai.

* Đáp án D: \( \sqrt{\frac{x-1}{4-x}} \). Ta có \( \frac{x-1}{4-x} \ge 0 \) khi \( 1 \le x < 4 \). Vậy hàm số xác định trên nửa khoảng [1;4), không phải trên đoạn [-1,3]. Do đó, D sai.

Để tìm tiệm cận xiên của hàm số (C): \[y = \sqrt[3]{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}}\] ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm giới hạn của \(\frac{y}{x}\) khi x tiến tới vô cùng:
\[\mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \frac{y}{x} = \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}}}}{x} = \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \sqrt[3]{{\frac{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}}{{{x^3}}}}}= \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \sqrt[3]{{1 - \frac{2}{x}}} = 1\]
Vậy, a = 1.

2. Tìm giới hạn của \(y - ax\) khi x tiến tới vô cùng:
\[\mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}} - x} \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } x\left( {\sqrt[3]{{1 - \frac{2}{x}}} - 1} \right)\]
Đặt \(t = \frac{1}{x}\), khi \(x \to \infty \) thì \(t \to 0\).
\[\mathop {lim}\limits_{x \to \infty } x\left( {\sqrt[3]{{1 - \frac{2}{x}}} - 1} \right) = \mathop {lim}\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{1 - 2t}} - 1}}{t}\]
Sử dụng quy tắc L'Hopital:
\[\mathop {lim}\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{1 - 2t}} - 1}}{t} = \mathop {lim}\limits_{t \to 0} \frac{{\frac{1}{3}{{\left( {1 - 2t} \right)}^{ - \frac{2}{3}}}.\left( { - 2} \right)}}{1} = - \frac{2}{3}\]
Vậy, b = -2/3.

Do đó, tiệm cận xiên của hàm số là \[y = x - \frac{2}{3}\] hay \[y = - \frac{2}{3} + x\]
Vậy đáp án đúng là A.