Trả lời:
Đáp án đúng:
Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x ln(x − 4) tại điểm có hoành độ x = 5, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
1. **Tìm tọa độ điểm tiếp xúc:** Thay x = 5 vào hàm số ban đầu để tìm tung độ y.
y = 5 * ln(5 - 4) = 5 * ln(1) = 5 * 0 = 0.
Vậy, điểm tiếp xúc là (5, 0).
2. **Tính đạo hàm của hàm số:** Ta cần tìm đạo hàm của hàm số y = x ln(x - 4) để xác định hệ số góc của tiếp tuyến.
Sử dụng quy tắc đạo hàm của tích: (uv)' = u'v + uv'.
Đặt u = x và v = ln(x - 4).
Ta có u' = 1.
Để tính v', ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp: (ln(f(x)))' = f'(x) / f(x).
Với f(x) = x - 4, ta có f'(x) = 1.
Vậy, v' = 1 / (x - 4).
Áp dụng công thức đạo hàm của tích:
y' = (1) * ln(x - 4) + x * (1 / (x - 4))
y' = ln(x - 4) + x / (x - 4).
3. **Tính hệ số góc tại điểm tiếp xúc:** Thay x = 5 vào đạo hàm vừa tìm được để tính hệ số góc k.
k = y'(5) = ln(5 - 4) + 5 / (5 - 4)
k = ln(1) + 5 / 1
k = 0 + 5 = 5.
Vậy, hệ số góc của tiếp tuyến là k = 5.
4. **Viết phương trình tiếp tuyến:** Sử dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua một điểm (x₀, y₀) với hệ số góc k là: y - y₀ = k(x - x₀).
Với điểm tiếp xúc (x₀, y₀) = (5, 0) và hệ số góc k = 5, ta có:
y - 0 = 5(x - 5)
y = 5x - 25.
Vậy, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x ln(x − 4) tại x = 5 là y = 5x - 25.
Đề thi cuối kỳ Môn Toán 1 (Mã môn học: MATH132401) của Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM, Học kỳ 3 năm học 2024-2025. Đề thi gồm 8 câu hỏi, kiểm tra kiến thức về hàm số, giới hạn, đạo hàm, tích phân và các ứng dụng trong giải quyết bài toán thực tế, tối ưu hóa và tốc độ thay đổi.
8 câu hỏi 90 phút