Cho hàm số: f(x) =  \begin{cases}  \dfrac{1 - \sqrt{x - \cos(x)}}{3x}, & x > 0, \\[1.2em]  3 - x, & x \leq 0. Tính \[\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)\].

Để tính tích phân $I = \int x \sqrt{2 - x^2}\, dx$ bằng phép đổi biến $t = \sqrt{2 - x^2}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vi phân của t: Bình phương hai vế, ta có $t^2 = 2 - x^2$. Lấy vi phân hai vế theo x, ta được $2t dt = -2x dx$. Từ đó, rút ra $x dx = -t dt$. 2. Thay thế vào tích phân: Ta có $\sqrt{2 - x^2} = t$ và $x dx = -t dt$. Thay thế vào tích phân ban đầu: $I = \int \sqrt{2 - x^2} \cdot (x dx)$ $I = \int t \cdot (-t dt)$ $I = -\int t^2 dt$. 3. Tính tích phân theo t: Sử dụng quy tắc tính tích phân của hàm lũy thừa $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$, ta có: $I = -\frac{t^{2+1}}{2+1} + C$ $I = -\frac{t^3}{3} + C$. 4. Trả về biến ban đầu x: Thay $t = \sqrt{2 - x^2}$ trở lại biểu thức tích phân: $I = -\frac{(\sqrt{2 - x^2})^3}{3} + C$ $I = -\frac{(2 - x^2)^{3/2}}{3} + C$. Vậy, đáp án đúng là $I = -\frac{(2 - x^2)^{3/2}}{3} + C$.

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện hai bước chính: tính giá trị của hàm số $u(s)$ tại $s=1$ và chứng minh tính chất hàm chẵn của $u(s)$. Bước 1: Tính giá trị $u(1)$ Hàm số được cho là $u(s) = \int_{0}^{s} x e^{x^2} dx$. Để tính $u(1)$, ta thay $s=1$ vào biểu thức này: $u(1) = \int_{0}^{1} x e^{x^2} dx$. Để tính tích phân này, ta sử dụng phương pháp đổi biến số. Đặt $t = x^2$. Khi đó, vi phân của $t$ là $dt = 2x dx$. Từ đó, ta suy ra $x dx = \frac{1}{2} dt$. Tiếp theo, ta cần thay đổi cận của tích phân cho phù hợp với biến mới $t$: - Khi $x=0$ (cận dưới), $t = 0^2 = 0$. - Khi $x=1$ (cận trên), $t = 1^2 = 1$. Bây giờ, ta thay thế vào tích phân ban đầu: $u(1) = \int_{0}^{1} e^{x^2} (x dx) = \int_{0}^{1} e^t \left(\frac{1}{2} dt\right) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^t dt$. Nguyên hàm của $e^t$ là $e^t$. Áp dụng Định lý Newton-Leibniz để tính tích phân xác định: $u(1) = \frac{1}{2} [e^t]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (e^1 - e^0) = \frac{1}{2} (e - 1)$. Vậy, giá trị của $u(1)$ là $\frac{e-1}{2}$. Bước 2: Chứng minh $u(s) = u(-s)$ Chúng ta cần chứng minh rằng hàm $u(s)$ là hàm chẵn. Ta có định nghĩa $u(s) = \int_{0}^{s} x e^{x^2} dx$. Xét $u(-s)$: $u(-s) = \int_{0}^{-s} x e^{x^2} dx$. Ta tiếp tục sử dụng phương pháp đổi biến số. Đặt $x = -y$. Khi đó, $dx = -dy$. Ta cần thay đổi cận của tích phân theo biến mới $y$: - Khi $x=0$ (cận dưới), $0 = -y \Rightarrow y = 0$. - Khi $x=-s$ (cận trên), $-s = -y \Rightarrow y = s$. Thay thế vào biểu thức của $u(-s)$: $u(-s) = \int_{0}^{s} (-y) e^{(-y)^2} (-dy)$. $u(-s) = \int_{0}^{s} (-y) e^{y^2} (-dy)$. Nhân hai dấu trừ lại với nhau, ta được: $u(-s) = \int_{0}^{s} y e^{y^2} dy$. Vì biến trong tích phân xác định là biến giả, chúng ta có thể thay $y$ bằng $x$ mà không làm thay đổi giá trị của tích phân: $u(-s) = \int_{0}^{s} x e^{x^2} dx$. Nhận thấy rằng vế phải của phương trình này chính là định nghĩa của $u(s)$. Do đó: $u(-s) = u(s)$. Điều này chứng tỏ rằng hàm $u(s)$ là một hàm chẵn. Kết luận: Giá trị của $u(1)$ là $\frac{e-1}{2}$ và hàm số $u(s) = \int_{0}^{s} x e^{x^2} dx$ là một hàm chẵn vì $u(s) = u(-s)$ với mọi $s$ thuộc tập xác định.