Cần làm hàng rào một phần đất có diện tích 200m² theo hình chữ nhật. Xác định kích thước phần đất sao cho chu vi của nó nhỏ nhất nhằm làm tối thiểu chi phí hàng rào.

Để tìm hàm h(t) từ phương trình đã cho, ta tiến hành các bước sau: 1. Rút gọn phương trình: Ta có phương trình: 3t - h^{-1}\!\left(\sqrt{9t^2+1}\,\right) = 0, \quad t \geq 0. Chuyển vế h^{-1}\!\left(\sqrt{9t^2+1}\,\right) sang vế phải, ta được: 3t = h^{-1}\!\left(\sqrt{9t^2+1}\,\right). 2. Tìm hàm h(t) bằng cách áp dụng hàm h vào hai vế: Áp dụng hàm h vào cả hai vế của phương trình, ta có: h(3t) = h\left(h^{-1}\!\left(\sqrt{9t^2+1}\,\right)\right). Theo định nghĩa của hàm ngược, h\left(h^{-1}(x)\right) = x. Do đó, vế phải sẽ đơn giản hóa thành: h(3t) = \sqrt{9t^2+1}. 3. Đặt biến mới để tìm biểu thức theo biến t: Để tìm biểu thức của h(t) theo biến t, ta thực hiện phép đổi biến. Đặt u = 3t. Khi đó, t = u/3. Thay t = u/3 vào biểu thức của h(3t), ta được: h(u) = \sqrt{9\left(\frac{u}{3}\right)^2+1}. 4. Rút gọn biểu thức của h(u): Tiếp tục rút gọn biểu thức: h(u) = \sqrt{9\left(\frac{u^2}{9}\right)+1} h(u) = \sqrt{u^2+1}. 5. Thay biến u trở lại bằng biến t: Cuối cùng, thay biến u trở lại bằng biến t để có hàm h(t): h(t) = \sqrt{t^2+1}. Điều kiện t \geq 0 là cần thiết cho biểu thức ban đầu và phép biến đổi của ta cũng tuân thủ điều kiện này khi thay đổi biến. Tuy nhiên, hàm h(t) = \sqrt{t^2+1} có thể xác định với mọi giá trị t, nhưng do điều kiện ban đầu của bài toán, ta chỉ xét cho t \geq 0.

Để tính giới hạn của hàm số $f(x)$ khi $x$ tiến về 0, ta cần xét giới hạn của hai trường hợp: $x \to 0^+$ và $x \to 0^-$. \n\n1. Xét giới hạn khi $x \to 0^+$. Ta sử dụng biểu thức $f(x) = \dfrac{1 - \sqrt{x - \cos(x)}}{3x}$. Khi $x \to 0^+$, ta có $x \to 0$ và $\cos(x) \to \cos(0) = 1$. Do đó, biểu thức dưới căn $x - \cos(x) \to 0 - 1 = -1$. Vì căn bậc hai của một số âm không xác định trong tập số thực, giới hạn này không tồn tại trong tập số thực.

Để tính tích phân $I = \int x \sqrt{2 - x^2}\, dx$ bằng phép đổi biến $t = \sqrt{2 - x^2}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vi phân của t: Bình phương hai vế, ta có $t^2 = 2 - x^2$. Lấy vi phân hai vế theo x, ta được $2t dt = -2x dx$. Từ đó, rút ra $x dx = -t dt$. 2. Thay thế vào tích phân: Ta có $\sqrt{2 - x^2} = t$ và $x dx = -t dt$. Thay thế vào tích phân ban đầu: $I = \int \sqrt{2 - x^2} \cdot (x dx)$ $I = \int t \cdot (-t dt)$ $I = -\int t^2 dt$. 3. Tính tích phân theo t: Sử dụng quy tắc tính tích phân của hàm lũy thừa $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$, ta có: $I = -\frac{t^{2+1}}{2+1} + C$ $I = -\frac{t^3}{3} + C$. 4. Trả về biến ban đầu x: Thay $t = \sqrt{2 - x^2}$ trở lại biểu thức tích phân: $I = -\frac{(\sqrt{2 - x^2})^3}{3} + C$ $I = -\frac{(2 - x^2)^{3/2}}{3} + C$. Vậy, đáp án đúng là $I = -\frac{(2 - x^2)^{3/2}}{3} + C$.

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện hai bước chính: tính giá trị của hàm số $u(s)$ tại $s=1$ và chứng minh tính chất hàm chẵn của $u(s)$. Bước 1: Tính giá trị $u(1)$ Hàm số được cho là $u(s) = \int_{0}^{s} x e^{x^2} dx$. Để tính $u(1)$, ta thay $s=1$ vào biểu thức này: $u(1) = \int_{0}^{1} x e^{x^2} dx$. Để tính tích phân này, ta sử dụng phương pháp đổi biến số. Đặt $t = x^2$. Khi đó, vi phân của $t$ là $dt = 2x dx$. Từ đó, ta suy ra $x dx = \frac{1}{2} dt$. Tiếp theo, ta cần thay đổi cận của tích phân cho phù hợp với biến mới $t$: - Khi $x=0$ (cận dưới), $t = 0^2 = 0$. - Khi $x=1$ (cận trên), $t = 1^2 = 1$. Bây giờ, ta thay thế vào tích phân ban đầu: $u(1) = \int_{0}^{1} e^{x^2} (x dx) = \int_{0}^{1} e^t \left(\frac{1}{2} dt\right) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^t dt$. Nguyên hàm của $e^t$ là $e^t$. Áp dụng Định lý Newton-Leibniz để tính tích phân xác định: $u(1) = \frac{1}{2} [e^t]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (e^1 - e^0) = \frac{1}{2} (e - 1)$. Vậy, giá trị của $u(1)$ là $\frac{e-1}{2}$. Bước 2: Chứng minh $u(s) = u(-s)$ Chúng ta cần chứng minh rằng hàm $u(s)$ là hàm chẵn. Ta có định nghĩa $u(s) = \int_{0}^{s} x e^{x^2} dx$. Xét $u(-s)$: $u(-s) = \int_{0}^{-s} x e^{x^2} dx$. Ta tiếp tục sử dụng phương pháp đổi biến số. Đặt $x = -y$. Khi đó, $dx = -dy$. Ta cần thay đổi cận của tích phân theo biến mới $y$: - Khi $x=0$ (cận dưới), $0 = -y \Rightarrow y = 0$. - Khi $x=-s$ (cận trên), $-s = -y \Rightarrow y = s$. Thay thế vào biểu thức của $u(-s)$: $u(-s) = \int_{0}^{s} (-y) e^{(-y)^2} (-dy)$. $u(-s) = \int_{0}^{s} (-y) e^{y^2} (-dy)$. Nhân hai dấu trừ lại với nhau, ta được: $u(-s) = \int_{0}^{s} y e^{y^2} dy$. Vì biến trong tích phân xác định là biến giả, chúng ta có thể thay $y$ bằng $x$ mà không làm thay đổi giá trị của tích phân: $u(-s) = \int_{0}^{s} x e^{x^2} dx$. Nhận thấy rằng vế phải của phương trình này chính là định nghĩa của $u(s)$. Do đó: $u(-s) = u(s)$. Điều này chứng tỏ rằng hàm $u(s)$ là một hàm chẵn. Kết luận: Giá trị của $u(1)$ là $\frac{e-1}{2}$ và hàm số $u(s) = \int_{0}^{s} x e^{x^2} dx$ là một hàm chẵn vì $u(s) = u(-s)$ với mọi $s$ thuộc tập xác định.