Đáp án đúng:
Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện hai bước chính: tính giá trị của hàm số $u(s)$ tại $s=1$ và chứng minh tính chất hàm chẵn của $u(s)$. **Bước 1: Tính giá trị $u(1)$** Hàm số được cho là $u(s) = \int_{0}^{s} x e^{x^2} dx$. Để tính $u(1)$, ta thay $s=1$ vào biểu thức này: $u(1) = \int_{0}^{1} x e^{x^2} dx$. Để tính tích phân này, ta sử dụng phương pháp đổi biến số. Đặt $t = x^2$. Khi đó, vi phân của $t$ là $dt = 2x dx$. Từ đó, ta suy ra $x dx = \frac{1}{2} dt$. Tiếp theo, ta cần thay đổi cận của tích phân cho phù hợp với biến mới $t$: - Khi $x=0$ (cận dưới), $t = 0^2 = 0$. - Khi $x=1$ (cận trên), $t = 1^2 = 1$. Bây giờ, ta thay thế vào tích phân ban đầu: $u(1) = \int_{0}^{1} e^{x^2} (x dx) = \int_{0}^{1} e^t \left(\frac{1}{2} dt\right) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^t dt$. Nguyên hàm của $e^t$ là $e^t$. Áp dụng Định lý Newton-Leibniz để tính tích phân xác định: $u(1) = \frac{1}{2} [e^t]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (e^1 - e^0) = \frac{1}{2} (e - 1)$. Vậy, giá trị của $u(1)$ là $\frac{e-1}{2}$. **Bước 2: Chứng minh $u(s) = u(-s)$** Chúng ta cần chứng minh rằng hàm $u(s)$ là hàm chẵn. Ta có định nghĩa $u(s) = \int_{0}^{s} x e^{x^2} dx$. Xét $u(-s)$: $u(-s) = \int_{0}^{-s} x e^{x^2} dx$. Ta tiếp tục sử dụng phương pháp đổi biến số. Đặt $x = -y$. Khi đó, $dx = -dy$. Ta cần thay đổi cận của tích phân theo biến mới $y$: - Khi $x=0$ (cận dưới), $0 = -y \Rightarrow y = 0$. - Khi $x=-s$ (cận trên), $-s = -y \Rightarrow y = s$. Thay thế vào biểu thức của $u(-s)$: $u(-s) = \int_{0}^{s} (-y) e^{(-y)^2} (-dy)$. $u(-s) = \int_{0}^{s} (-y) e^{y^2} (-dy)$. Nhân hai dấu trừ lại với nhau, ta được: $u(-s) = \int_{0}^{s} y e^{y^2} dy$. Vì biến trong tích phân xác định là biến giả, chúng ta có thể thay $y$ bằng $x$ mà không làm thay đổi giá trị của tích phân: $u(-s) = \int_{0}^{s} x e^{x^2} dx$. Nhận thấy rằng vế phải của phương trình này chính là định nghĩa của $u(s)$. Do đó: $u(-s) = u(s)$. Điều này chứng tỏ rằng hàm $u(s)$ là một hàm chẵn. **Kết luận:** Giá trị của $u(1)$ là $\frac{e-1}{2}$ và hàm số $u(s) = \int_{0}^{s} x e^{x^2} dx$ là một hàm chẵn vì $u(s) = u(-s)$ với mọi $s$ thuộc tập xác định.
Đề thi cuối kỳ Môn Toán 1 (Mã môn học: MATH132401) của Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM, Học kỳ 3 năm học 2024-2025. Đề thi gồm 8 câu hỏi, kiểm tra kiến thức về hàm số, giới hạn, đạo hàm, tích phân và các ứng dụng trong giải quyết bài toán thực tế, tối ưu hóa và tốc độ thay đổi.