Đáp án đúng:
Để tính tích phân $I = \int x \sqrt{2 - x^2}\, dx$ bằng phép đổi biến $t = \sqrt{2 - x^2}$, ta thực hiện các bước sau: 1. **Tìm vi phân của t:** Bình phương hai vế, ta có $t^2 = 2 - x^2$. Lấy vi phân hai vế theo x, ta được $2t dt = -2x dx$. Từ đó, rút ra $x dx = -t dt$. 2. **Thay thế vào tích phân:** Ta có $\sqrt{2 - x^2} = t$ và $x dx = -t dt$. Thay thế vào tích phân ban đầu: $I = \int \sqrt{2 - x^2} \cdot (x dx)$ $I = \int t \cdot (-t dt)$ $I = -\int t^2 dt$. 3. **Tính tích phân theo t:** Sử dụng quy tắc tính tích phân của hàm lũy thừa $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$, ta có: $I = -\frac{t^{2+1}}{2+1} + C$ $I = -\frac{t^3}{3} + C$. 4. **Trả về biến ban đầu x:** Thay $t = \sqrt{2 - x^2}$ trở lại biểu thức tích phân: $I = -\frac{(\sqrt{2 - x^2})^3}{3} + C$ $I = -\frac{(2 - x^2)^{3/2}}{3} + C$. Vậy, đáp án đúng là $I = -\frac{(2 - x^2)^{3/2}}{3} + C$.
Đề thi cuối kỳ Môn Toán 1 (Mã môn học: MATH132401) của Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM, Học kỳ 3 năm học 2024-2025. Đề thi gồm 8 câu hỏi, kiểm tra kiến thức về hàm số, giới hạn, đạo hàm, tích phân và các ứng dụng trong giải quyết bài toán thực tế, tối ưu hóa và tốc độ thay đổi.
Câu hỏi liên quan
Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện hai bước chính: tính giá trị của hàm số $u(s)$ tại $s=1$ và chứng minh tính chất hàm chẵn của $u(s)$. Bước 1: Tính giá trị $u(1)$ Hàm số được cho là $u(s) = \int_{0}^{s} x e^{x^2} dx$. Để tính $u(1)$, ta thay $s=1$ vào biểu thức này: $u(1) = \int_{0}^{1} x e^{x^2} dx$. Để tính tích phân này, ta sử dụng phương pháp đổi biến số. Đặt $t = x^2$. Khi đó, vi phân của $t$ là $dt = 2x dx$. Từ đó, ta suy ra $x dx = \frac{1}{2} dt$. Tiếp theo, ta cần thay đổi cận của tích phân cho phù hợp với biến mới $t$: - Khi $x=0$ (cận dưới), $t = 0^2 = 0$. - Khi $x=1$ (cận trên), $t = 1^2 = 1$. Bây giờ, ta thay thế vào tích phân ban đầu: $u(1) = \int_{0}^{1} e^{x^2} (x dx) = \int_{0}^{1} e^t \left(\frac{1}{2} dt\right) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^t dt$. Nguyên hàm của $e^t$ là $e^t$. Áp dụng Định lý Newton-Leibniz để tính tích phân xác định: $u(1) = \frac{1}{2} [e^t]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (e^1 - e^0) = \frac{1}{2} (e - 1)$. Vậy, giá trị của $u(1)$ là $\frac{e-1}{2}$. Bước 2: Chứng minh $u(s) = u(-s)$ Chúng ta cần chứng minh rằng hàm $u(s)$ là hàm chẵn. Ta có định nghĩa $u(s) = \int_{0}^{s} x e^{x^2} dx$. Xét $u(-s)$: $u(-s) = \int_{0}^{-s} x e^{x^2} dx$. Ta tiếp tục sử dụng phương pháp đổi biến số. Đặt $x = -y$. Khi đó, $dx = -dy$. Ta cần thay đổi cận của tích phân theo biến mới $y$: - Khi $x=0$ (cận dưới), $0 = -y \Rightarrow y = 0$. - Khi $x=-s$ (cận trên), $-s = -y \Rightarrow y = s$. Thay thế vào biểu thức của $u(-s)$: $u(-s) = \int_{0}^{s} (-y) e^{(-y)^2} (-dy)$. $u(-s) = \int_{0}^{s} (-y) e^{y^2} (-dy)$. Nhân hai dấu trừ lại với nhau, ta được: $u(-s) = \int_{0}^{s} y e^{y^2} dy$. Vì biến trong tích phân xác định là biến giả, chúng ta có thể thay $y$ bằng $x$ mà không làm thay đổi giá trị của tích phân: $u(-s) = \int_{0}^{s} x e^{x^2} dx$. Nhận thấy rằng vế phải của phương trình này chính là định nghĩa của $u(s)$. Do đó: $u(-s) = u(s)$. Điều này chứng tỏ rằng hàm $u(s)$ là một hàm chẵn. Kết luận: Giá trị của $u(1)$ là $\frac{e-1}{2}$ và hàm số $u(s) = \int_{0}^{s} x e^{x^2} dx$ là một hàm chẵn vì $u(s) = u(-s)$ với mọi $s$ thuộc tập xác định.
Trong trường hợp này, ta có hàm số g(x) = 1 - x³ và cần tính g′(3). Chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa đạo hàm theo biến h:
g′(3) = lim_{h→0} [g(3 + h) - g(3)] / h.
Bước 1: Tính g(3 + h).
Ta thay (3 + h) vào hàm số g(x):
g(3 + h) = 1 - (3 + h)³.
Khai triển (3 + h)³: (3 + h)³ = 3³ + 3 * 3² * h + 3 * 3 * h² + h³ = 27 + 27h + 9h² + h³.
Vậy, g(3 + h) = 1 - (27 + 27h + 9h² + h³) = 1 - 27 - 27h - 9h² - h³ = -26 - 27h - 9h² - h³.
Bước 2: Tính g(3).
Ta thay x = 3 vào hàm số g(x):
g(3) = 1 - 3³ = 1 - 27 = -26.
Bước 3: Tính hiệu g(3 + h) - g(3).
g(3 + h) - g(3) = (-26 - 27h - 9h² - h³) - (-26)
= -26 - 27h - 9h² - h³ + 26
= -27h - 9h² - h³.
Bước 4: Lập tỉ số [g(3 + h) - g(3)] / h.
[g(3 + h) - g(3)] / h = (-27h - 9h² - h³) / h.
Vì h → 0 nhưng h ≠ 0, ta có thể chia tử và mẫu cho h:
= -27 - 9h - h².
Bước 5: Tính giới hạn khi h → 0.
g′(3) = lim_{h→0} (-27 - 9h - h²).
Khi h → 0, các số hạng -9h và -h² sẽ tiến về 0.
Vậy, g′(3) = -27.
Do đó, đáp án đúng là -27.
.png)
Gọi $x$ là khoảng cách cố định từ người quan sát đến tòa nhà ($x = 15$ mét).
Gọi $y$ là độ cao của thang máy so với mặt đất (hoặc một điểm tham chiếu cố định).
Gọi $\theta$ là góc quan sát từ người quan sát đến thang máy.
Theo đề bài, ta có mối quan hệ giữa $x, y, \theta$ trong một tam giác vuông là:
$\tan(\theta) = \frac{y}{x}$
Vì $x=15$ mét là hằng số, ta có:
$y = 15 \tan(\theta)$
Chúng ta được cho biết tại thời điểm mà $\theta = 1$ radian, tốc độ thay đổi của góc quan sát là $\frac{d\theta}{dt} = -0.15$ rad/s. Dấu âm cho thấy góc quan sát đang giảm.
Chúng ta cần tìm tốc độ của thang máy, tức là $\frac{dy}{dt}$.
Để tìm $\frac{dy}{dt}$, ta lấy đạo hàm hai vế của phương trình $y = 15 \tan(\theta)$ theo thời gian $t$:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(15 \tan(\theta))$
Sử dụng quy tắc chuỗi, ta có:
$\frac{dy}{dt} = 15 \cdot \sec^2(\theta) \cdot \frac{d\theta}{dt}$
Bây giờ, chúng ta thay các giá trị đã biết vào phương trình đạo hàm:
$\theta = 1$ rad
$\frac{d\theta}{dt} = -0.15$ rad/s
Ta cần tính $\sec^2(1)$. Ta biết $\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}$, do đó $\sec^2(\theta) = \frac{1}{\cos^2(\theta)}$.
Giá trị của $\cos(1)$ (với 1 radian) là khoảng $0.5403$.
Vậy, $\cos^2(1) \approx (0.5403)^2 \approx 0.2919$.
Suy ra, $\sec^2(1) = \frac{1}{\cos^2(1)} \approx \frac{1}{0.2919} \approx 3.4256$.
Thay các giá trị vào công thức $\frac{dy}{dt}$:
$\frac{dy}{dt} \approx 15 \cdot 3.4256 \cdot (-0.15)$
$\frac{dy}{dt} \approx 51.384 \cdot (-0.15)$
$\frac{dy}{dt} \approx -7.7076$ mét/giây.
Tốc độ của thang máy là độ lớn của vận tốc, do đó ta lấy giá trị tuyệt đối của $\frac{dy}{dt}$.
Tốc độ $\approx |-7.7076|$ m/s $\approx 7.71$ m/s.
Giá trị âm cho thấy thang máy đang di chuyển xuống, phù hợp với việc góc quan sát đang giảm.
1. Tìm tọa độ điểm tiếp xúc: Thay x = 5 vào hàm số ban đầu để tìm tung độ y.
y = 5 * ln(5 - 4) = 5 * ln(1) = 5 * 0 = 0.
Vậy, điểm tiếp xúc là (5, 0).
2. Tính đạo hàm của hàm số: Ta cần tìm đạo hàm của hàm số y = x ln(x - 4) để xác định hệ số góc của tiếp tuyến.
Sử dụng quy tắc đạo hàm của tích: (uv)' = u'v + uv'.
Đặt u = x và v = ln(x - 4).
Ta có u' = 1.
Để tính v', ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp: (ln(f(x)))' = f'(x) / f(x).
Với f(x) = x - 4, ta có f'(x) = 1.
Vậy, v' = 1 / (x - 4).
Áp dụng công thức đạo hàm của tích:
y' = (1) * ln(x - 4) + x * (1 / (x - 4))
y' = ln(x - 4) + x / (x - 4).
3. Tính hệ số góc tại điểm tiếp xúc: Thay x = 5 vào đạo hàm vừa tìm được để tính hệ số góc k.
k = y'(5) = ln(5 - 4) + 5 / (5 - 4)
k = ln(1) + 5 / 1
k = 0 + 5 = 5.
Vậy, hệ số góc của tiếp tuyến là k = 5.
4. Viết phương trình tiếp tuyến: Sử dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua một điểm (x₀, y₀) với hệ số góc k là: y - y₀ = k(x - x₀).
Với điểm tiếp xúc (x₀, y₀) = (5, 0) và hệ số góc k = 5, ta có:
y - 0 = 5(x - 5)
y = 5x - 25.
Vậy, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x ln(x − 4) tại x = 5 là y = 5x - 25.
