Một người đứng cách một tòa nhà 15 mét và đang quan sát một thang máy bên ngoài mặt tòa nhà di chuyển xuống. Khi góc quan sát (θ) là 1 rad, thì góc quan sát đang giảm với tốc độ 0,15 rad/s. Tại thời điểm đó, tốc độ của thang máy là bao nhiêu?

Để tìm hàm h(t) từ phương trình đã cho, ta tiến hành các bước sau: 1. Rút gọn phương trình: Ta có phương trình: 3t - h^{-1}\!\left(\sqrt{9t^2+1}\,\right) = 0, \quad t \geq 0. Chuyển vế h^{-1}\!\left(\sqrt{9t^2+1}\,\right) sang vế phải, ta được: 3t = h^{-1}\!\left(\sqrt{9t^2+1}\,\right). 2. Tìm hàm h(t) bằng cách áp dụng hàm h vào hai vế: Áp dụng hàm h vào cả hai vế của phương trình, ta có: h(3t) = h\left(h^{-1}\!\left(\sqrt{9t^2+1}\,\right)\right). Theo định nghĩa của hàm ngược, h\left(h^{-1}(x)\right) = x. Do đó, vế phải sẽ đơn giản hóa thành: h(3t) = \sqrt{9t^2+1}. 3. Đặt biến mới để tìm biểu thức theo biến t: Để tìm biểu thức của h(t) theo biến t, ta thực hiện phép đổi biến. Đặt u = 3t. Khi đó, t = u/3. Thay t = u/3 vào biểu thức của h(3t), ta được: h(u) = \sqrt{9\left(\frac{u}{3}\right)^2+1}. 4. Rút gọn biểu thức của h(u): Tiếp tục rút gọn biểu thức: h(u) = \sqrt{9\left(\frac{u^2}{9}\right)+1} h(u) = \sqrt{u^2+1}. 5. Thay biến u trở lại bằng biến t: Cuối cùng, thay biến u trở lại bằng biến t để có hàm h(t): h(t) = \sqrt{t^2+1}. Điều kiện t \geq 0 là cần thiết cho biểu thức ban đầu và phép biến đổi của ta cũng tuân thủ điều kiện này khi thay đổi biến. Tuy nhiên, hàm h(t) = \sqrt{t^2+1} có thể xác định với mọi giá trị t, nhưng do điều kiện ban đầu của bài toán, ta chỉ xét cho t \geq 0.

Để tính giới hạn của hàm số $f(x)$ khi $x$ tiến về 0, ta cần xét giới hạn của hai trường hợp: $x \to 0^+$ và $x \to 0^-$. \n\n1. Xét giới hạn khi $x \to 0^+$. Ta sử dụng biểu thức $f(x) = \dfrac{1 - \sqrt{x - \cos(x)}}{3x}$. Khi $x \to 0^+$, ta có $x \to 0$ và $\cos(x) \to \cos(0) = 1$. Do đó, biểu thức dưới căn $x - \cos(x) \to 0 - 1 = -1$. Vì căn bậc hai của một số âm không xác định trong tập số thực, giới hạn này không tồn tại trong tập số thực.

Để tính tích phân $I = \int x \sqrt{2 - x^2}\, dx$ bằng phép đổi biến $t = \sqrt{2 - x^2}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vi phân của t: Bình phương hai vế, ta có $t^2 = 2 - x^2$. Lấy vi phân hai vế theo x, ta được $2t dt = -2x dx$. Từ đó, rút ra $x dx = -t dt$. 2. Thay thế vào tích phân: Ta có $\sqrt{2 - x^2} = t$ và $x dx = -t dt$. Thay thế vào tích phân ban đầu: $I = \int \sqrt{2 - x^2} \cdot (x dx)$ $I = \int t \cdot (-t dt)$ $I = -\int t^2 dt$. 3. Tính tích phân theo t: Sử dụng quy tắc tính tích phân của hàm lũy thừa $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$, ta có: $I = -\frac{t^{2+1}}{2+1} + C$ $I = -\frac{t^3}{3} + C$. 4. Trả về biến ban đầu x: Thay $t = \sqrt{2 - x^2}$ trở lại biểu thức tích phân: $I = -\frac{(\sqrt{2 - x^2})^3}{3} + C$ $I = -\frac{(2 - x^2)^{3/2}}{3} + C$. Vậy, đáp án đúng là $I = -\frac{(2 - x^2)^{3/2}}{3} + C$.