Đáp án đúng:
Đề thi cuối kỳ Môn Toán 1 (Mã môn học: MATH132401) của Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM, Học kỳ 3 năm học 2024-2025. Đề thi gồm 8 câu hỏi, kiểm tra kiến thức về hàm số, giới hạn, đạo hàm, tích phân và các ứng dụng trong giải quyết bài toán thực tế, tối ưu hóa và tốc độ thay đổi.
Câu hỏi liên quan
.png)
Gọi $x$ là khoảng cách cố định từ người quan sát đến tòa nhà ($x = 15$ mét).
Gọi $y$ là độ cao của thang máy so với mặt đất (hoặc một điểm tham chiếu cố định).
Gọi $\theta$ là góc quan sát từ người quan sát đến thang máy.
Theo đề bài, ta có mối quan hệ giữa $x, y, \theta$ trong một tam giác vuông là:
$\tan(\theta) = \frac{y}{x}$
Vì $x=15$ mét là hằng số, ta có:
$y = 15 \tan(\theta)$
Chúng ta được cho biết tại thời điểm mà $\theta = 1$ radian, tốc độ thay đổi của góc quan sát là $\frac{d\theta}{dt} = -0.15$ rad/s. Dấu âm cho thấy góc quan sát đang giảm.
Chúng ta cần tìm tốc độ của thang máy, tức là $\frac{dy}{dt}$.
Để tìm $\frac{dy}{dt}$, ta lấy đạo hàm hai vế của phương trình $y = 15 \tan(\theta)$ theo thời gian $t$:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(15 \tan(\theta))$
Sử dụng quy tắc chuỗi, ta có:
$\frac{dy}{dt} = 15 \cdot \sec^2(\theta) \cdot \frac{d\theta}{dt}$
Bây giờ, chúng ta thay các giá trị đã biết vào phương trình đạo hàm:
$\theta = 1$ rad
$\frac{d\theta}{dt} = -0.15$ rad/s
Ta cần tính $\sec^2(1)$. Ta biết $\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}$, do đó $\sec^2(\theta) = \frac{1}{\cos^2(\theta)}$.
Giá trị của $\cos(1)$ (với 1 radian) là khoảng $0.5403$.
Vậy, $\cos^2(1) \approx (0.5403)^2 \approx 0.2919$.
Suy ra, $\sec^2(1) = \frac{1}{\cos^2(1)} \approx \frac{1}{0.2919} \approx 3.4256$.
Thay các giá trị vào công thức $\frac{dy}{dt}$:
$\frac{dy}{dt} \approx 15 \cdot 3.4256 \cdot (-0.15)$
$\frac{dy}{dt} \approx 51.384 \cdot (-0.15)$
$\frac{dy}{dt} \approx -7.7076$ mét/giây.
Tốc độ của thang máy là độ lớn của vận tốc, do đó ta lấy giá trị tuyệt đối của $\frac{dy}{dt}$.
Tốc độ $\approx |-7.7076|$ m/s $\approx 7.71$ m/s.
Giá trị âm cho thấy thang máy đang di chuyển xuống, phù hợp với việc góc quan sát đang giảm.
1. Tìm tọa độ điểm tiếp xúc: Thay x = 5 vào hàm số ban đầu để tìm tung độ y.
y = 5 * ln(5 - 4) = 5 * ln(1) = 5 * 0 = 0.
Vậy, điểm tiếp xúc là (5, 0).
2. Tính đạo hàm của hàm số: Ta cần tìm đạo hàm của hàm số y = x ln(x - 4) để xác định hệ số góc của tiếp tuyến.
Sử dụng quy tắc đạo hàm của tích: (uv)' = u'v + uv'.
Đặt u = x và v = ln(x - 4).
Ta có u' = 1.
Để tính v', ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp: (ln(f(x)))' = f'(x) / f(x).
Với f(x) = x - 4, ta có f'(x) = 1.
Vậy, v' = 1 / (x - 4).
Áp dụng công thức đạo hàm của tích:
y' = (1) * ln(x - 4) + x * (1 / (x - 4))
y' = ln(x - 4) + x / (x - 4).
3. Tính hệ số góc tại điểm tiếp xúc: Thay x = 5 vào đạo hàm vừa tìm được để tính hệ số góc k.
k = y'(5) = ln(5 - 4) + 5 / (5 - 4)
k = ln(1) + 5 / 1
k = 0 + 5 = 5.
Vậy, hệ số góc của tiếp tuyến là k = 5.
4. Viết phương trình tiếp tuyến: Sử dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua một điểm (x₀, y₀) với hệ số góc k là: y - y₀ = k(x - x₀).
Với điểm tiếp xúc (x₀, y₀) = (5, 0) và hệ số góc k = 5, ta có:
y - 0 = 5(x - 5)
y = 5x - 25.
Vậy, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x ln(x − 4) tại x = 5 là y = 5x - 25.
Để tìm hàm h(t) từ phương trình đã cho, ta tiến hành các bước sau: 1. Rút gọn phương trình: Ta có phương trình: 3t - h^{-1}\!\left(\sqrt{9t^2+1}\,\right) = 0, \quad t \geq 0. Chuyển vế h^{-1}\!\left(\sqrt{9t^2+1}\,\right) sang vế phải, ta được: 3t = h^{-1}\!\left(\sqrt{9t^2+1}\,\right). 2. Tìm hàm h(t) bằng cách áp dụng hàm h vào hai vế: Áp dụng hàm h vào cả hai vế của phương trình, ta có: h(3t) = h\left(h^{-1}\!\left(\sqrt{9t^2+1}\,\right)\right). Theo định nghĩa của hàm ngược, h\left(h^{-1}(x)\right) = x. Do đó, vế phải sẽ đơn giản hóa thành: h(3t) = \sqrt{9t^2+1}. 3. Đặt biến mới để tìm biểu thức theo biến t: Để tìm biểu thức của h(t) theo biến t, ta thực hiện phép đổi biến. Đặt u = 3t. Khi đó, t = u/3. Thay t = u/3 vào biểu thức của h(3t), ta được: h(u) = \sqrt{9\left(\frac{u}{3}\right)^2+1}. 4. Rút gọn biểu thức của h(u): Tiếp tục rút gọn biểu thức: h(u) = \sqrt{9\left(\frac{u^2}{9}\right)+1} h(u) = \sqrt{u^2+1}. 5. Thay biến u trở lại bằng biến t: Cuối cùng, thay biến u trở lại bằng biến t để có hàm h(t): h(t) = \sqrt{t^2+1}. Điều kiện t \geq 0 là cần thiết cho biểu thức ban đầu và phép biến đổi của ta cũng tuân thủ điều kiện này khi thay đổi biến. Tuy nhiên, hàm h(t) = \sqrt{t^2+1} có thể xác định với mọi giá trị t, nhưng do điều kiện ban đầu của bài toán, ta chỉ xét cho t \geq 0.
Để tính giới hạn của hàm số $f(x)$ khi $x$ tiến về 0, ta cần xét giới hạn của hai trường hợp: $x \to 0^+$ và $x \to 0^-$. \n\n1. Xét giới hạn khi $x \to 0^+$. Ta sử dụng biểu thức $f(x) = \dfrac{1 - \sqrt{x - \cos(x)}}{3x}$. Khi $x \to 0^+$, ta có $x \to 0$ và $\cos(x) \to \cos(0) = 1$. Do đó, biểu thức dưới căn $x - \cos(x) \to 0 - 1 = -1$. Vì căn bậc hai của một số âm không xác định trong tập số thực, giới hạn này không tồn tại trong tập số thực.
