Số các xâu nhị phân có độ dài nhỏ hơn hoặc bằng 10 là.

Xâu nhị phân độ dài 8 bắt đầu bởi 00 và kết thúc bởi 11 có dạng 00xxxx11, trong đó x có thể là 0 hoặc 1.

Có 4 vị trí x, mỗi vị trí có 2 lựa chọn (0 hoặc 1). Do đó, số lượng xâu thỏa mãn là 2^4 = 16.

Hàm số f(x) = 2x + 1 với x ∈ Z.

1. Tính đơn ánh: Giả sử f(x₁) = f(x₂), suy ra 2x₁ + 1 = 2x₂ + 1, do đó 2x₁ = 2x₂ và x₁ = x₂. Vậy f là hàm đơn ánh.

2. Tính toàn ánh: Xét y ∈ R. Để f là toàn ánh thì phải tồn tại x ∈ Z sao cho f(x) = y, tức là 2x + 1 = y, suy ra x = (y - 1)/2. Không phải mọi y ∈ R đều cho x ∈ Z. Ví dụ, y = 2 thì x = (2 - 1)/2 = 1/2 không thuộc Z. Vậy f không là hàm toàn ánh.

3. Tính song ánh: Vì f là đơn ánh nhưng không là toàn ánh, nên f không là hàm song ánh.

Vậy, đáp án đúng là f là hàm đơn ánh.

Để một quan hệ thỏa mãn tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu thì quan hệ đó phải là một quan hệ tương đương.

• Phản xạ: (a, a) phải thuộc quan hệ với mọi a thuộc A.
• Đối xứng: Nếu (a, b) thuộc quan hệ thì (b, a) cũng phải thuộc quan hệ.
• Bắc cầu: Nếu (a, b) và (b, c) thuộc quan hệ thì (a, c) cũng phải thuộc quan hệ.

Xét từng đáp án:

• Đáp án A: Thiếu (4,4) nên không thỏa mãn tính phản xạ.
• Đáp án B: Thiếu (1,1), (2,2), (4,4) nên không thỏa mãn tính phản xạ.
• Đáp án C: Thiếu (4,4), (1,3), (3,2), (1,2) và (3,1) không kéo theo (1,1) nên không thỏa mãn tính bắc cầu.
• Đáp án D: Thỏa mãn cả ba tính chất: phản xạ (có (1,1), (2,2), (3,3), (4,4)), đối xứng (nếu có (a, b) thì có (b, a)), và bắc cầu.

Vậy đáp án đúng là D.

Quan hệ R = {(a, b) | a ≡ b (mod n)} được định nghĩa trên tập số nguyên dương. Ta sẽ xét từng tính chất để xác định tính chất nào R không có:

• Tính phản xạ: Với mọi a, ta có a ≡ a (mod n) vì a - a = 0 chia hết cho n. Vậy R có tính phản xạ.
• Tính đối xứng: Nếu a ≡ b (mod n), thì a - b chia hết cho n. Suy ra b - a = -(a - b) cũng chia hết cho n, do đó b ≡ a (mod n). Vậy R có tính đối xứng.
• Tính bắc cầu: Nếu a ≡ b (mod n) và b ≡ c (mod n), thì a - b chia hết cho n và b - c chia hết cho n. Suy ra (a - b) + (b - c) = a - c cũng chia hết cho n, do đó a ≡ c (mod n). Vậy R có tính bắc cầu.
• Tính phản đối xứng: Nếu a ≡ b (mod n) và b ≡ a (mod n), điều này có nghĩa là a - b chia hết cho n và b - a chia hết cho n. Điều này không nhất thiết suy ra a = b. Ví dụ, nếu n = 2, a = 1, b = 3, thì 1 ≡ 3 (mod 2) và 3 ≡ 1 (mod 2), nhưng 1 ≠ 3. Do đó, R không có tính phản đối xứng.

Vậy, R không có tính chất phản đối xứng.