Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài bằng 8 bắt đầu bởi 00 và kết thúc bởi 11.

Hàm số f(x) = 2x + 1 với x ∈ Z.

1. Tính đơn ánh: Giả sử f(x₁) = f(x₂), suy ra 2x₁ + 1 = 2x₂ + 1, do đó 2x₁ = 2x₂ và x₁ = x₂. Vậy f là hàm đơn ánh.

2. Tính toàn ánh: Xét y ∈ R. Để f là toàn ánh thì phải tồn tại x ∈ Z sao cho f(x) = y, tức là 2x + 1 = y, suy ra x = (y - 1)/2. Không phải mọi y ∈ R đều cho x ∈ Z. Ví dụ, y = 2 thì x = (2 - 1)/2 = 1/2 không thuộc Z. Vậy f không là hàm toàn ánh.

3. Tính song ánh: Vì f là đơn ánh nhưng không là toàn ánh, nên f không là hàm song ánh.

Vậy, đáp án đúng là f là hàm đơn ánh.

Để một quan hệ thỏa mãn tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu thì quan hệ đó phải là một quan hệ tương đương.

• Phản xạ: (a, a) phải thuộc quan hệ với mọi a thuộc A.
• Đối xứng: Nếu (a, b) thuộc quan hệ thì (b, a) cũng phải thuộc quan hệ.
• Bắc cầu: Nếu (a, b) và (b, c) thuộc quan hệ thì (a, c) cũng phải thuộc quan hệ.

Xét từng đáp án:

• Đáp án A: Thiếu (4,4) nên không thỏa mãn tính phản xạ.
• Đáp án B: Thiếu (1,1), (2,2), (4,4) nên không thỏa mãn tính phản xạ.
• Đáp án C: Thiếu (4,4), (1,3), (3,2), (1,2) và (3,1) không kéo theo (1,1) nên không thỏa mãn tính bắc cầu.
• Đáp án D: Thỏa mãn cả ba tính chất: phản xạ (có (1,1), (2,2), (3,3), (4,4)), đối xứng (nếu có (a, b) thì có (b, a)), và bắc cầu.

Vậy đáp án đúng là D.

Quan hệ R = {(a, b) | a ≡ b (mod n)} được định nghĩa trên tập số nguyên dương. Ta sẽ xét từng tính chất để xác định tính chất nào R không có:

• Tính phản xạ: Với mọi a, ta có a ≡ a (mod n) vì a - a = 0 chia hết cho n. Vậy R có tính phản xạ.
• Tính đối xứng: Nếu a ≡ b (mod n), thì a - b chia hết cho n. Suy ra b - a = -(a - b) cũng chia hết cho n, do đó b ≡ a (mod n). Vậy R có tính đối xứng.
• Tính bắc cầu: Nếu a ≡ b (mod n) và b ≡ c (mod n), thì a - b chia hết cho n và b - c chia hết cho n. Suy ra (a - b) + (b - c) = a - c cũng chia hết cho n, do đó a ≡ c (mod n). Vậy R có tính bắc cầu.
• Tính phản đối xứng: Nếu a ≡ b (mod n) và b ≡ a (mod n), điều này có nghĩa là a - b chia hết cho n và b - a chia hết cho n. Điều này không nhất thiết suy ra a = b. Ví dụ, nếu n = 2, a = 1, b = 3, thì 1 ≡ 3 (mod 2) và 3 ≡ 1 (mod 2), nhưng 1 ≠ 3. Do đó, R không có tính phản đối xứng.

Vậy, R không có tính chất phản đối xứng.

Mệnh đề là một câu khẳng định có tính đúng hoặc sai. Tức là, với một mệnh đề, ta phải xác định được nó đúng hay sai.

• Phương án A: 2 + 3 < 4 là một mệnh đề sai.
• Phương án B: 3 là một số chẵn là một mệnh đề sai.
• Phương án C: Cho x là một số nguyên dương. Đây không phải là một mệnh đề vì ta không thể xác định tính đúng sai của nó.
• Phương án D: 1 - 2 < 0 là một mệnh đề đúng.

Vậy, đáp án đúng là C.