Hỏi có bao nhiêu cách phân tích 10 thành tổng của các số nguyên dương?

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Số cách phân tích số nguyên dương n thành tổng các số nguyên dương là $2^{n-1}$. Vậy số cách phân tích 10 thành tổng các số nguyên dương là $2^{10-1} = 2^9 = 512$. Không có đáp án đúng trong các phương án đã cho. Tuy nhiên, nếu câu hỏi là số cách phân tích 10 thành tổng các số nguyên dương *không phân biệt thứ tự* thì đáp án sẽ khác và phức tạp hơn, liên quan đến hàm phân hoạch (partition function).

500+ câu hỏi trắc nghiệm Toán rời rạc có đáp án kèm giải thích - Phần 5

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 5:

Hỏi phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm nguyên dương: X1 + X2 + X3 + X4 = 11

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Đây là bài toán chia kẹo Euler (stars and bars). Ta cần tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình X1 + X2 + X3 + X4 = 11.

Vì các biến Xi đều là nghiệm nguyên dương, ta đặt Yi = Xi - 1, với Yi >= 0. Khi đó phương trình trở thành:
(Y1 + 1) + (Y2 + 1) + (Y3 + 1) + (Y4 + 1) = 11
Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 11 - 4 = 7

Số nghiệm nguyên không âm của phương trình này là tổ hợp chập 3 của (7 + 4 - 1), tức là C(7 + 4 - 1, 4 - 1) = C(10, 3).

C(10, 3) = 10! / (3! * 7!) = (10 * 9 * 8) / (3 * 2 * 1) = 10 * 3 * 4 = 120.

Vậy, số nghiệm nguyên dương của phương trình là 120.

Câu 6:

Cho đồ thị có hướng G= (V, E) trong đó tập đỉnh V = {1,2,3,4,5,6} và tập cung E = {(2,1),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,4)}. Trọng số các cung được cho sau đây: w(2,1) = 5, w(2,5) = 1, w(2,6) = 4, w(3,1) = 1, w(3,2) = 2, w(5,4) = 8, w(5,6) = 1, w(6,1) = 1, w(6,4) = 3. Hỏi đường đi ngắn nhất từ đỉnh 3 đến đỉnh 4 có độ dài bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh 3 đến đỉnh 4, ta có thể sử dụng thuật toán Dijkstra hoặc thuật toán Bellman-Ford. Tuy nhiên, với đồ thị nhỏ như thế này, ta có thể dò đường đi bằng tay như sau:

1. Từ đỉnh 3:
- 3 -> 1 (trọng số 1)
- 3 -> 2 (trọng số 2)

2. Xét đường đi qua đỉnh 1:
- Không có đường đi trực tiếp từ 1 đến 4.

3. Xét đường đi qua đỉnh 2:
- 2 -> 1 (trọng số 5)
- 2 -> 5 (trọng số 1)
- 2 -> 6 (trọng số 4)

4. Từ đỉnh 5:
- 5 -> 4 (trọng số 8)
- 5 -> 6 (trọng số 1)

5. Từ đỉnh 6:
- 6 -> 1 (trọng số 1)
- 6 -> 4 (trọng số 3)

Như vậy, ta có các đường đi sau từ 3 đến 4:

* Đường 1: 3 -> 2 -> 5 -> 4. Tổng trọng số: 2 + 1 + 8 = 11
* Đường 2: 3 -> 2 -> 6 -> 4. Tổng trọng số: 2 + 4 + 3 = 9
* Không có đường đi nào khác ngắn hơn.

Vậy đường đi ngắn nhất từ đỉnh 3 đến đỉnh 4 có độ dài bằng 9. Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng với kết quả này. Để kiểm tra lại, ta xem xét kỹ hơn:
Đường đi ngắn nhất là 3 -> 2 -> 6 -> 4 với tổng trọng số là 2 + 4 + 3 = 9.
Vì không có đáp án nào đúng, có thể có lỗi trong dữ liệu hoặc các đáp án cho sẵn.

Câu 7:

Xét các hàm từ R tới R, hàm nào là khả nghịch.

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Hàm số khả nghịch là hàm số song ánh (vừa đơn ánh vừa toàn ánh).

* Phương án A: f(x) = x² − 4x + 5 = (x-2)² + 1. Hàm này không đơn ánh vì f(1) = f(3) = 2, do đó không khả nghịch.

* Phương án B: f(x) = x⁴. Hàm này không đơn ánh vì f(1) = f(-1) = 1, do đó không khả nghịch.

* Phương án C: f(x) = x³. Hàm này là hàm bậc 3, có đạo hàm f'(x) = 3x² >= 0. Hàm số đồng biến trên R nên đơn ánh. Ngoài ra, với mọi y thuộc R, luôn tồn tại x = căn bậc ba của y sao cho f(x) = y. Do đó hàm số là toàn ánh. Vậy hàm số khả nghịch.

* Phương án D: f(x) = 6 − x². Hàm này không đơn ánh vì f(1) = f(-1) = 5, do đó không khả nghịch.

Vậy, chỉ có phương án C là hàm khả nghịch.

Câu 8:

Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, tập B = {2, 3, 8, 1, 7, 9}. Tập (A−B)∪(B−A) là.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có:

$A - B = \{4, 5, 6\}$

$B - A = \{8, 9\}$

Do đó, $(A-B) \cup (B-A) = \{4, 5, 6, 8, 9\}$.

Câu 9:

Cho 2 tập A, B với A = {1,a,2,b,3,c,d}, B = {x,5,y,6,c,1,z}. Số phần tử của tập (A – B) là.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Tập A – B là tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. Ta có A = {1, a, 2, b, 3, c, d}, B = {x, 5, y, 6, c, 1, z}.
Các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B là: a, 2, b, 3, d.
Vậy A – B = {a, 2, b, 3, d}.
Vậy đáp án đúng là C.

Câu 10:

Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài bằng 8 và không chứa 6 số 0 liên tiếp.

Lời giải: