Cho đồ thị có hướng G= (V, E) trong đó tập đỉnh V = {1,2,3,4,5,6} và tập cung E = {(2,1),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,4)}. Trọng số các cung được cho sau đây: w(2,1) = 5, w(2,5) = 1, w(2,6) = 4, w(3,1) = 1, w(3,2) = 2, w(5,4) = 8, w(5,6) = 1, w(6,1) = 1, w(6,4) = 3. Hỏi đường đi ngắn nhất từ đỉnh 3 đến đỉnh 4 có độ dài bằng bao nhiêu?

Hàm số khả nghịch là hàm số song ánh (vừa đơn ánh vừa toàn ánh).

* Phương án A: f(x) = x² − 4x + 5 = (x-2)² + 1. Hàm này không đơn ánh vì f(1) = f(3) = 2, do đó không khả nghịch.

* Phương án B: f(x) = x⁴. Hàm này không đơn ánh vì f(1) = f(-1) = 1, do đó không khả nghịch.

* Phương án C: f(x) = x³. Hàm này là hàm bậc 3, có đạo hàm f'(x) = 3x² >= 0. Hàm số đồng biến trên R nên đơn ánh. Ngoài ra, với mọi y thuộc R, luôn tồn tại x = căn bậc ba của y sao cho f(x) = y. Do đó hàm số là toàn ánh. Vậy hàm số khả nghịch.

* Phương án D: f(x) = 6 − x². Hàm này không đơn ánh vì f(1) = f(-1) = 5, do đó không khả nghịch.

Vậy, chỉ có phương án C là hàm khả nghịch.

Ta có:

$A - B = \{4, 5, 6\}$

$B - A = \{8, 9\}$

Do đó, $(A-B) \cup (B-A) = \{4, 5, 6, 8, 9\}$.

Tập A – B là tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. Ta có A = {1, a, 2, b, 3, c, d}, B = {x, 5, y, 6, c, 1, z}.
Các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B là: a, 2, b, 3, d.
Vậy A – B = {a, 2, b, 3, d}.
Vậy đáp án đúng là C.

Gọi $a_n$ là số xâu nhị phân độ dài $n$ không chứa 6 số 0 liên tiếp.

Ta có thể xây dựng xâu nhị phân độ dài $n$ bằng cách thêm một bit (0 hoặc 1) vào xâu nhị phân độ dài $n-1$.

Nếu xâu độ dài $n-1$ kết thúc bằng 1, ta có thể thêm 0 hoặc 1 vào cuối.
Nếu xâu độ dài $n-1$ kết thúc bằng 0, ta cần xem xét số lượng số 0 liên tiếp ở cuối xâu.

Ta gọi $a_{n, k}$ là số xâu nhị phân độ dài $n$ kết thúc bằng $k$ số 0 liên tiếp và không chứa 6 số 0 liên tiếp.

Khi đó $a_n = a_{n, 0} + a_{n, 1} + a_{n, 2} + a_{n, 3} + a_{n, 4} + a_{n, 5}$.

Ta có công thức truy hồi:
$a_{n, 0} = a_{n-1}$ (xâu độ dài $n-1$ cộng thêm 1 vào cuối)
$a_{n, 1} = a_{n-1, 0}$ (xâu độ dài $n-1$ kết thúc bằng 0, cộng thêm 0 vào cuối)
$a_{n, 2} = a_{n-1, 1}$ (xâu độ dài $n-1$ kết thúc bằng 1 số 0, cộng thêm 0 vào cuối)
$a_{n, 3} = a_{n-1, 2}$ (xâu độ dài $n-1$ kết thúc bằng 2 số 0, cộng thêm 0 vào cuối)
$a_{n, 4} = a_{n-1, 3}$ (xâu độ dài $n-1$ kết thúc bằng 3 số 0, cộng thêm 0 vào cuối)
$a_{n, 5} = a_{n-1, 4}$ (xâu độ dài $n-1$ kết thúc bằng 4 số 0, cộng thêm 0 vào cuối)
Tuy nhiên, cách này phức tạp.

Ta sẽ tính số xâu nhị phân độ dài 8 chứa 6 số 0 liên tiếp trở lên. Sau đó lấy tổng số xâu nhị phân độ dài 8 trừ đi số xâu vừa tìm được.
Tổng số xâu nhị phân độ dài 8 là $2^8 = 256$.

Các xâu chứa 6 số 0 liên tiếp:
- 000000xx: xx có 4 khả năng (00, 01, 10, 11)
- 1000000x: x có 2 khả năng (0, 1)
- x1000000: x có 2 khả năng (0, 1)
- 00000000: 1 trường hợp
- 0000001x: x có 2 khả năng
- x0000001: x có 2 khả năng
- 11000000
- 01000000
- 00000001
-10000001

Các xâu chứa 7 số 0 liên tiếp:
- 0000000x : x có 2 khả năng
- x0000000 : x có 2 khả năng
- 00000000 : 1

Các xâu chứa 8 số 0 liên tiếp:
- 00000000 : 1

Các xâu chứa 6 số 0 liên tiếp: 00000000, 00000001, 10000000, 01000000, 11000000, 00000010, 00000011, 10000001
Các xâu chứa 7 số 0 liên tiếp: 00000000, 10000000, 00000001
Các xâu chứa 8 số 0 liên tiếp: 00000000

Số xâu có ít nhất 6 số 0 liên tiếp là: 4 + 2 + 2 -1 +1 = 8

Các xâu có 6 số 0 liên tiếp: 00000011, 00000010, 10000001, 01000000, 11000000, 00000100, 00000000
Các xâu có 7 số 0 liên tiếp: 10000000, 00000001,
Các xâu có 8 số 0 liên tiếp: 00000000

Số các xâu chứa 6 số 0 liên tiếp trở lên là: 3+2+2-1 = 7, 6+7+8 = 8+2+2+4-1 = 15
Số xâu chứa ít nhất 6 số 0 liên tiếp là: 8.
Vậy số xâu nhị phân độ dài 8 không chứa 6 số 0 liên tiếp là: 256 - 8 = 248
Tổng số các xâu có ít nhất 6 số 0 liên tiếp:
00000000
00000001
00000010
00000011
10000000
01000000
10000001
11000000
Tổng cộng có 8 xâu.
Vậy, có 256 - 8 = 248 xâu không chứa 6 số 0 liên tiếp.