Trong khai triển (x+y)²⁰⁰ có bao nhiêu số hạng?

Gọi A là tập hợp các xâu nhị phân độ dài 5 có 2 bit đầu tiên là 0, B là tập hợp các xâu nhị phân độ dài 5 có 2 bit cuối cùng là 1.

\n

Ta cần tính |A ∪ B|.

\n

Theo công thức bù trừ, |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|.

\n

\n
• |A|: Hai bit đầu tiên cố định là 0, 3 bit còn lại có thể là 0 hoặc 1. Vậy |A| = 2³ = 8.
\n
• |B|: Hai bit cuối cùng cố định là 1, 3 bit còn lại có thể là 0 hoặc 1. Vậy |B| = 2³ = 8.
\n
• |A ∩ B|: Hai bit đầu tiên là 0 và hai bit cuối cùng là 1. Bit ở giữa có thể là 0 hoặc 1. Vậy |A ∩ B| = 2¹ = 2.
\n

\n

Do đó, |A ∪ B| = 8 + 8 - 2 = 14.

Một quan hệ R trên tập A là phản đối xứng nếu với mọi a, b thuộc A, nếu (a, b) thuộc R và (b, a) thuộc R thì a = b.

* Phương án A: R = {(a,a), (a,b), (b,c), (b,d), (c,c), (c,b), (d,a), (d,b)}. Ta thấy (b, c) thuộc R và (c, b) thuộc R nhưng b ≠ c. Vậy R không phản đối xứng.
* Phương án B: R = {(a,a), (a,c), (a,d), (c, b),(c,c), (d,b), (d,c)}. Ta thấy không có cặp (x, y) và (y, x) nào mà x ≠ y. Vậy R phản đối xứng.
* Phương án C: R = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,b), (b,c), (c,c), (c,a), (d,d), (d,b)}. Ta thấy (a, c) thuộc R và (c, a) thuộc R nhưng a ≠ c. Vậy R không phản đối xứng.
* Phương án D: R = {(a,a), (a,c), (b,b), (b,d), (c,c), (c,a), (d,d), (d,c)}. Ta thấy (a, c) thuộc R và (c, a) thuộc R nhưng a ≠ c. (d, c) thuộc R và (c, d) không thuộc R. Vậy R không phản đối xứng.

Vậy đáp án đúng là B.

Để xác định ma trận biểu diễn quan hệ R, ta cần xem xét các cặp phần tử trong R. Ma trận sẽ có kích thước 6x6, với hàng và cột tương ứng với các phần tử của tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Phần tử (i, j) của ma trận sẽ là 1 nếu (i, j) thuộc R, và là 0 nếu (i, j) không thuộc R.

* Hàng 1:
* (1, 1) thuộc R => a11 = 1
* (1, 3) thuộc R => a13 = 1
* (1, 5) thuộc R => a15 = 1
* Các phần tử còn lại: a12 = a14 = a16 = 0
* Hàng 2:
* (2, 2) thuộc R => a22 = 1
* (2, 4) thuộc R => a24 = 1
* (2, 6) thuộc R => a26 = 1
* Các phần tử còn lại: a21 = a23 = a25 = 0
* Hàng 3:
* (3, 3) thuộc R => a33 = 1
* (3, 1) thuộc R => a31 = 1
* (3, 5) thuộc R => a35 = 1
* Các phần tử còn lại: a32 = a34 = a36 = 0
* Hàng 4:
* (4, 4) thuộc R => a44 = 1
* (4, 2) thuộc R => a42 = 1
* (4, 6) thuộc R => a46 = 1
* Các phần tử còn lại: a41 = a43 = a45 = 0
* Hàng 5:
* (5, 5) thuộc R => a55 = 1
* (5, 1) thuộc R => a51 = 1
* (5, 3) thuộc R => a53 = 1
* Các phần tử còn lại: a52 = a54 = a56 = 0
* Hàng 6:
* (6, 6) thuộc R => a66 = 1
* (6, 2) thuộc R => a62 = 1
* (6, 4) thuộc R => a64 = 1
* Các phần tử còn lại: a61 = a63 = a65 = 0

Đối chiếu với các đáp án, ta thấy đáp án A phù hợp.

Để tìm ma trận biểu diễn quan hệ R trên tập A, ta cần xác định ma trận vuông kích thước |A| x |A| (trong trường hợp này là 5x5). Phần tử ở hàng i cột j của ma trận là 1 nếu (i, j) thuộc R, và là 0 nếu (i, j) không thuộc R.

Xét các phần tử của R:
- (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) thuộc R => các phần tử trên đường chéo chính của ma trận đều bằng 1.
- (1,3) thuộc R => phần tử ở hàng 1 cột 3 bằng 1.
- (3,1) thuộc R => phần tử ở hàng 3 cột 1 bằng 1.
- (3,2) thuộc R => phần tử ở hàng 3 cột 2 bằng 1.
- (2,3) thuộc R => phần tử ở hàng 2 cột 3 bằng 1.

Các phần tử còn lại không được liệt kê trong R, do đó chúng bằng 0.

Như vậy, ma trận biểu diễn quan hệ R là:

1 0 1 0 0
0 1 1 0 0
1 1 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1

Đáp án C phù hợp với phân tích trên.