Hỏi phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm nguyên dương: X1 + X2 + X3 + X4 = 11

Để tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh 3 đến đỉnh 4, ta có thể sử dụng thuật toán Dijkstra hoặc thuật toán Bellman-Ford. Tuy nhiên, với đồ thị nhỏ như thế này, ta có thể dò đường đi bằng tay như sau:

1. Từ đỉnh 3:
- 3 -> 1 (trọng số 1)
- 3 -> 2 (trọng số 2)

2. Xét đường đi qua đỉnh 1:
- Không có đường đi trực tiếp từ 1 đến 4.

3. Xét đường đi qua đỉnh 2:
- 2 -> 1 (trọng số 5)
- 2 -> 5 (trọng số 1)
- 2 -> 6 (trọng số 4)

4. Từ đỉnh 5:
- 5 -> 4 (trọng số 8)
- 5 -> 6 (trọng số 1)

5. Từ đỉnh 6:
- 6 -> 1 (trọng số 1)
- 6 -> 4 (trọng số 3)

Như vậy, ta có các đường đi sau từ 3 đến 4:

* Đường 1: 3 -> 2 -> 5 -> 4. Tổng trọng số: 2 + 1 + 8 = 11
* Đường 2: 3 -> 2 -> 6 -> 4. Tổng trọng số: 2 + 4 + 3 = 9
* Không có đường đi nào khác ngắn hơn.

Vậy đường đi ngắn nhất từ đỉnh 3 đến đỉnh 4 có độ dài bằng 9. Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng với kết quả này. Để kiểm tra lại, ta xem xét kỹ hơn:
Đường đi ngắn nhất là 3 -> 2 -> 6 -> 4 với tổng trọng số là 2 + 4 + 3 = 9.
Vì không có đáp án nào đúng, có thể có lỗi trong dữ liệu hoặc các đáp án cho sẵn.

Hàm số khả nghịch là hàm số song ánh (vừa đơn ánh vừa toàn ánh).

* Phương án A: f(x) = x² − 4x + 5 = (x-2)² + 1. Hàm này không đơn ánh vì f(1) = f(3) = 2, do đó không khả nghịch.

* Phương án B: f(x) = x⁴. Hàm này không đơn ánh vì f(1) = f(-1) = 1, do đó không khả nghịch.

* Phương án C: f(x) = x³. Hàm này là hàm bậc 3, có đạo hàm f'(x) = 3x² >= 0. Hàm số đồng biến trên R nên đơn ánh. Ngoài ra, với mọi y thuộc R, luôn tồn tại x = căn bậc ba của y sao cho f(x) = y. Do đó hàm số là toàn ánh. Vậy hàm số khả nghịch.

* Phương án D: f(x) = 6 − x². Hàm này không đơn ánh vì f(1) = f(-1) = 5, do đó không khả nghịch.

Vậy, chỉ có phương án C là hàm khả nghịch.

Ta có:

$A - B = \{4, 5, 6\}$

$B - A = \{8, 9\}$

Do đó, $(A-B) \cup (B-A) = \{4, 5, 6, 8, 9\}$.

Tập A – B là tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. Ta có A = {1, a, 2, b, 3, c, d}, B = {x, 5, y, 6, c, 1, z}.
Các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B là: a, 2, b, 3, d.
Vậy A – B = {a, 2, b, 3, d}.
Vậy đáp án đúng là C.

Gọi $a_n$ là số xâu nhị phân độ dài $n$ không chứa 6 số 0 liên tiếp.

Ta có thể xây dựng xâu nhị phân độ dài $n$ bằng cách thêm một bit (0 hoặc 1) vào xâu nhị phân độ dài $n-1$.

Nếu xâu độ dài $n-1$ kết thúc bằng 1, ta có thể thêm 0 hoặc 1 vào cuối.
Nếu xâu độ dài $n-1$ kết thúc bằng 0, ta cần xem xét số lượng số 0 liên tiếp ở cuối xâu.

Ta gọi $a_{n, k}$ là số xâu nhị phân độ dài $n$ kết thúc bằng $k$ số 0 liên tiếp và không chứa 6 số 0 liên tiếp.

Khi đó $a_n = a_{n, 0} + a_{n, 1} + a_{n, 2} + a_{n, 3} + a_{n, 4} + a_{n, 5}$.

Ta có công thức truy hồi:
$a_{n, 0} = a_{n-1}$ (xâu độ dài $n-1$ cộng thêm 1 vào cuối)
$a_{n, 1} = a_{n-1, 0}$ (xâu độ dài $n-1$ kết thúc bằng 0, cộng thêm 0 vào cuối)
$a_{n, 2} = a_{n-1, 1}$ (xâu độ dài $n-1$ kết thúc bằng 1 số 0, cộng thêm 0 vào cuối)
$a_{n, 3} = a_{n-1, 2}$ (xâu độ dài $n-1$ kết thúc bằng 2 số 0, cộng thêm 0 vào cuối)
$a_{n, 4} = a_{n-1, 3}$ (xâu độ dài $n-1$ kết thúc bằng 3 số 0, cộng thêm 0 vào cuối)
$a_{n, 5} = a_{n-1, 4}$ (xâu độ dài $n-1$ kết thúc bằng 4 số 0, cộng thêm 0 vào cuối)
Tuy nhiên, cách này phức tạp.

Ta sẽ tính số xâu nhị phân độ dài 8 chứa 6 số 0 liên tiếp trở lên. Sau đó lấy tổng số xâu nhị phân độ dài 8 trừ đi số xâu vừa tìm được.
Tổng số xâu nhị phân độ dài 8 là $2^8 = 256$.

Các xâu chứa 6 số 0 liên tiếp:
- 000000xx: xx có 4 khả năng (00, 01, 10, 11)
- 1000000x: x có 2 khả năng (0, 1)
- x1000000: x có 2 khả năng (0, 1)
- 00000000: 1 trường hợp
- 0000001x: x có 2 khả năng
- x0000001: x có 2 khả năng
- 11000000
- 01000000
- 00000001
-10000001

Các xâu chứa 7 số 0 liên tiếp:
- 0000000x : x có 2 khả năng
- x0000000 : x có 2 khả năng
- 00000000 : 1

Các xâu chứa 8 số 0 liên tiếp:
- 00000000 : 1

Các xâu chứa 6 số 0 liên tiếp: 00000000, 00000001, 10000000, 01000000, 11000000, 00000010, 00000011, 10000001
Các xâu chứa 7 số 0 liên tiếp: 00000000, 10000000, 00000001
Các xâu chứa 8 số 0 liên tiếp: 00000000

Số xâu có ít nhất 6 số 0 liên tiếp là: 4 + 2 + 2 -1 +1 = 8

Các xâu có 6 số 0 liên tiếp: 00000011, 00000010, 10000001, 01000000, 11000000, 00000100, 00000000
Các xâu có 7 số 0 liên tiếp: 10000000, 00000001,
Các xâu có 8 số 0 liên tiếp: 00000000

Số các xâu chứa 6 số 0 liên tiếp trở lên là: 3+2+2-1 = 7, 6+7+8 = 8+2+2+4-1 = 15
Số xâu chứa ít nhất 6 số 0 liên tiếp là: 8.
Vậy số xâu nhị phân độ dài 8 không chứa 6 số 0 liên tiếp là: 256 - 8 = 248
Tổng số các xâu có ít nhất 6 số 0 liên tiếp:
00000000
00000001
00000010
00000011
10000000
01000000
10000001
11000000
Tổng cộng có 8 xâu.
Vậy, có 256 - 8 = 248 xâu không chứa 6 số 0 liên tiếp.