Hàm số \[y = x\sqrt {{x^2} + 1} \] có đạo hàm cấp \(2\) bằng :

\[y'' = - \frac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}\].

\[y'' = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\].

\[y'' = \frac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}\].

\[y'' = - \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\].

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Ta có:\[y' = \sqrt {{x^2} + 1} + x.\frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \sqrt {{x^2} + 1} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{{x^2} + 1 + {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\]

\[y'' = \frac{{4x.\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {2{x^2} + 1} \right).\frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{4x\left( {{x^2} + 1} \right) - x\left( {2{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}. = \frac{{4{x^3} + 4x - 2{x^3} - x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}.\]

Vậy đáp án đúng là C.

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 3 có đáp án chi tiết - Phần 2

37 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 18:

Hàm số \[y = {\left( {2x + 5} \right)^5}\] có đạo hàm cấp \(3\) bằng :

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có:
\(y' = 5{\left( {2x + 5} \right)^4}.2 = 10{\left( {2x + 5} \right)^4}\)
\(y'' = 10.4{\left( {2x + 5} \right)^3}.2 = 80{\left( {2x + 5} \right)^3}\)
\(y''' = 80.3{\left( {2x + 5} \right)^2}.2 = 480{\left( {2x + 5} \right)^2}\)
Vậy đáp án đúng là B.

Câu 19:

Hàm số \(y = f\left( x \right) = \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\) . Phương trình \({f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = - 8\) có nghiệm \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có:
\(f(x) = \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\)
\(f'(x) = -2\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\)
\(f''(x) = -4\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\)
\(f'''(x) = 8\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\)
\(f^{(4)}(x) = 16\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\)
Khi đó \(f^{(4)}(x) = -8 \Leftrightarrow 16\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} ight) = -8 \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = -\frac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{3} = \pm \frac{2\pi }{3} + k2\pi , k \in \mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \vee x = - \frac{\pi }{6} + k\pi , k \in \mathbb{Z}\)
Vì \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) nên ta có \(x = \frac{\pi }{2}\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{\pi }{2}\).

Câu 20:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{x}\). Xét hai mệnh đề :

\(\left( I \right):y'' = f''\left( x \right) = \frac{2}{{{x^3}}}\).\(\left( {II} \right):y''' = f'''\left( x \right) = - \frac{6}{{{x^4}}}\).

Mệnh đề nào đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có \(y = f(x) = - \frac{1}{x} = -x^{-1}\).

Tính đạo hàm cấp 1: \(y' = f'(x) = -(-1)x^{-2} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}\).

Tính đạo hàm cấp 2: \(y'' = f''(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}\).
Vậy mệnh đề (I) sai.

Tính đạo hàm cấp 3: \(y''' = f'''(x) = -2(-3)x^{-4} = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4}\).
Vậy mệnh đề (II) sai.

Do đó, cả hai mệnh đề đều sai.

Câu 21:

Nếu \(f''\left( x \right) = \frac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\) thì \(f\left( x \right)\) bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có: \(f''\left( x \right) = \frac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\)

\(f'\left( x \right) = \int {f''\left( x \right)dx} = \int {\frac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}dx} \)

Đặt \(t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx\)

Khi đó \(f'\left( x \right) = - \int {\frac{2}{{{t^3}}}dt} = - 2\int {{t^{ - 3}}dt} = - 2\frac{{{t^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = \frac{1}{{{t^2}}} + {C_1} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + {C_1}\)

Suy ra \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + {C_1}} \right)dx} = tanx + {C_1}x + {C_2}\)

Vì các đáp án không có dạng \(tanx + {C_1}x + {C_2}\) nên câu này không có đáp án đúng.

Câu 22:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^3}\). Giá trị \(f''\left( 0 \right)\) bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x)=(x+1)^3, sau đó thay x=0 để tìm giá trị f''(0).
f(x) = (x+1)^3
f'(x) = 3(x+1)^2
f''(x) = 6(x+1)
f''(0) = 6(0+1) = 6

Câu 23:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 5{\left( {x + 1} \right)^3} + 4\left( {x + 1} \right)\). Tập nghiệm của phương trình \(f''\left( x \right) = 0\) là

Lời giải: