Cho lược đồ quan hệ R(A,B,C,D,E,G,H) và tập các phụ thuộc hàm F={AB → C, B → D, CD → E, CE → GH, G → A}. Phụ thuộc hàm nào thoả R?

Để tìm các phụ thuộc hàm thỏa mãn R, ta cần kiểm tra xem các phụ thuộc hàm ở mỗi đáp án có thể suy diễn được từ tập phụ thuộc hàm F đã cho hay không.

* Đáp án A: AG → GH, AI → E
* AG → GH: Từ AG → I (F) và GI → H (F), ta có AG → GIH. Suy ra AG → GH (đúng).
* AI → E: Không thể suy diễn được từ F.

* Đáp án B: AB → BH, AG → B
* AB → BH: Từ AB → E (F) và E → G (F), ta có AB → EG. Không có cách nào suy ra AB → BH từ F.
* AG → B: Không thể suy diễn được từ F.

* Đáp án C: GH → AB, AB → GH
* GH → AB: Không thể suy diễn được từ F.
* AB → GH: Từ AB → E (F) và E → G (F), ta có AB → EG. Không có cách nào suy ra AB → GH từ F.

* Đáp án D: AB → GH, AG → GH
* AB → GH: Từ AB → E (F) và E → G (F), ta có AB → EG. Không có cách nào suy ra AB → GH từ F.
* AG → GH: Từ AG → I (F) và GI → H (F), ta có AG → GIH. Suy ra AG → GH (đúng).

Tuy nhiên, không có đáp án nào mà cả hai phụ thuộc hàm đều được suy ra từ F. Có lẽ có một lỗi trong đề bài hoặc các đáp án. Giả sử phụ thuộc hàm AB -> GH trong đáp án D là AB -> EH thì có thể giải như sau:
Từ AB -> E và E -> G, ta có AB -> EG. Do đó AB -> GH là sai.
Từ AG -> I và GI -> H, ta có AG -> GIH. Do đó AG -> GH là đúng.

Vì không có đáp án nào đúng hoàn toàn, tôi sẽ chọn đáp án D vì nó có một phần đúng (AG -> GH).

Năm 1974, William W. Armstrong đã đưa ra một tập hợp các quy tắc suy diễn (còn gọi là các tiên đề Armstrong) cho các phụ thuộc hàm. Các luật này bao gồm:

* Luật phản xạ (Reflexivity): Nếu Y là một tập hợp con của X, thì X → Y.
* Luật tăng trưởng (Augmentation): Nếu X → Y, thì XZ → YZ (XZ là hợp của X và Z).
* Luật bắc cầu (Transitivity): Nếu X → Y và Y → Z, thì X → Z.

Do đó, đáp án đúng là A. Luật phản xạ, luật tăng trưởng, luật bắc cầu.

Luật phản xạ (Reflexivity) trong hệ tiên đề Armstrong phát biểu rằng nếu tập thuộc tính Y là một tập con của tập thuộc tính X (Y ⊆ X), thì X xác định Y (X → Y). Điều này có nghĩa là nếu chúng ta đã biết giá trị của tất cả các thuộc tính trong X, thì chúng ta chắc chắn biết giá trị của tất cả các thuộc tính trong Y, vì Y chỉ chứa các thuộc tính từ X.

Phương án A: Nếu Y ⊆ X Thì Y → X (Sai). Đây là phát biểu ngược lại của luật phản xạ, không đúng.

Phương án B: Nếu Y ⊆ X Thì X → Y (Đúng). Đây chính là phát biểu của luật phản xạ.

Phương án C: Nếu X → Y Thì X.Z → Y.Z (Sai). Đây là luật tăng trưởng (Augmentation), không phải luật phản xạ.

Phương án D: Nếu X → Y Thì Y → X (Sai). Đây không phải là luật phản xạ, và nó chỉ đúng trong một số trường hợp đặc biệt chứ không phải là một luật tổng quát.