Ba xạ thủ cùng bắn 1 con thú (mỗi người bắn 1 viên đạn). Xác suất bắn trúng của từng người tương ứng là 0,6; 0,7; 0,8. Biết rằng nếu trúng 1 phát đạn thì xác suất để con thú bị tiêu diệt là 0,5; trúng 2 phát đạn thì xác suất để con thú bị tiêu diệt là 0,8; còn nếu trúng 3 phát đạn thì chắc chắn con thú bị tiêu diệt.Tính xác suất để con thú bị tiêu diệt do trúng 2 phát đạn:

Gọi n là số con xúc xắc cần gieo. Xác suất để không có con xúc xắc nào xuất hiện mặt 6 chấm là (5/6)^n. Do đó, xác suất để có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm là 1 - (5/6)^n. Theo yêu cầu của bài toán, ta có: 1 - (5/6)^n >= 0.9, suy ra (5/6)^n <= 0.1. Lấy logarit tự nhiên hai vế, ta được: n * ln(5/6) <= ln(0.1), suy ra n >= ln(0.1) / ln(5/6) ≈ 12.63. Vì n phải là số nguyên, nên n nhỏ nhất là 13.

Trong bài toán này, ta có một quần thể hữu hạn (10 lốp xe) và ta lấy ra một mẫu (4 lốp xe) mà không hoàn lại. Số lượng lốp xe hỏng trong mẫu tuân theo phân phối siêu bội (Hypergeometric distribution). Phân phối siêu bội mô tả xác suất của số thành công (ở đây là số lốp hỏng) trong một mẫu rút ra từ một quần thể hữu hạn có chứa một số lượng thành công nhất định.

Gọi p là xác suất bắn trúng mục tiêu của xạ thủ trong một lần bắn (0 < p < 1). Khi đó xác suất bắn trượt là 1-p. X là số viên đạn đã bắn.

* X = 1: Xạ thủ bắn trúng ngay viên đầu tiên. P(X=1) = p.
* X = 2: Xạ thủ bắn trượt viên đầu, trúng viên thứ hai. P(X=2) = (1-p)p.
* X = 3: Xạ thủ bắn trượt 2 viên đầu, trúng viên thứ ba. P(X=3) = (1-p)^2*p.
* X = 4: Xạ thủ bắn trượt 3 viên đầu, hoặc bắn trượt cả 4 viên. P(X=4) = (1-p)^3*p + (1-p)^4 = (1-p)^3 (p + 1 - p) = (1-p)^3.

Để tìm mốt (Mod[X]), ta so sánh các xác suất này:

* P(X=1) = p
* P(X=2) = (1-p)p
* P(X=3) = (1-p)^2*p
* P(X=4) = (1-p)^3

Nhận thấy rằng, do 0 < p < 1, nên (1-p) < 1. Thông thường, p > (1-p) (ví dụ nếu xạ thủ bắn giỏi). Do đó, P(X=1) > P(X=2) > P(X=3). Tuy nhiên, P(X=4) có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn các xác suất khác, tùy thuộc vào giá trị của p.

Xét trường hợp p > 1/2, tức là xạ thủ bắn giỏi, xác suất trúng cao. Lúc này, P(X=1) có khả năng cao nhất. Vì vậy Mod[X] = 1.

Xét trường hợp p < 1/2, tức là xạ thủ bắn không giỏi lắm, xác suất trượt cao. Khi đó (1-p) > p. Lúc này, P(X=4) = (1-p)^3 có thể lớn hơn các giá trị khác. Tuy nhiên, nếu p rất nhỏ, P(X=4) sẽ nhỏ, và P(X=1) vẫn là lớn nhất.

Để tổng quát, chúng ta xem xét tỉ lệ:

* P(X=2) / P(X=1) = (1-p) < 1.
* P(X=3) / P(X=2) = (1-p) < 1.
* P(X=4) / P(X=3) = (1-p)/p. Nếu (1-p) > p, tức p < 1/2, thì P(X=4) > P(X=3)..

Nếu không có thông tin về xác suất trúng mục tiêu p, ta không thể xác định chắc chắn Mod[X] bằng bao nhiêu. Tuy nhiên, nếu p gần 1, thì Mod[X] = 1 là hợp lý nhất. Trong các đáp án, 1 là đáp án có khả năng cao nhất.