X có luật phân phối:

X	-2	0	1	3
PX	1/4	1/4	1/3	1/6

Kỳ vọng của (X² − 1) là:

Trong bài toán này, ta có một quần thể hữu hạn (10 lốp xe) và ta lấy ra một mẫu (4 lốp xe) mà không hoàn lại. Số lượng lốp xe hỏng trong mẫu tuân theo phân phối siêu bội (Hypergeometric distribution). Phân phối siêu bội mô tả xác suất của số thành công (ở đây là số lốp hỏng) trong một mẫu rút ra từ một quần thể hữu hạn có chứa một số lượng thành công nhất định.

Gọi p là xác suất bắn trúng mục tiêu của xạ thủ trong một lần bắn (0 < p < 1). Khi đó xác suất bắn trượt là 1-p. X là số viên đạn đã bắn.

* X = 1: Xạ thủ bắn trúng ngay viên đầu tiên. P(X=1) = p.
* X = 2: Xạ thủ bắn trượt viên đầu, trúng viên thứ hai. P(X=2) = (1-p)p.
* X = 3: Xạ thủ bắn trượt 2 viên đầu, trúng viên thứ ba. P(X=3) = (1-p)^2*p.
* X = 4: Xạ thủ bắn trượt 3 viên đầu, hoặc bắn trượt cả 4 viên. P(X=4) = (1-p)^3*p + (1-p)^4 = (1-p)^3 (p + 1 - p) = (1-p)^3.

Để tìm mốt (Mod[X]), ta so sánh các xác suất này:

* P(X=1) = p
* P(X=2) = (1-p)p
* P(X=3) = (1-p)^2*p
* P(X=4) = (1-p)^3

Nhận thấy rằng, do 0 < p < 1, nên (1-p) < 1. Thông thường, p > (1-p) (ví dụ nếu xạ thủ bắn giỏi). Do đó, P(X=1) > P(X=2) > P(X=3). Tuy nhiên, P(X=4) có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn các xác suất khác, tùy thuộc vào giá trị của p.

Xét trường hợp p > 1/2, tức là xạ thủ bắn giỏi, xác suất trúng cao. Lúc này, P(X=1) có khả năng cao nhất. Vì vậy Mod[X] = 1.

Xét trường hợp p < 1/2, tức là xạ thủ bắn không giỏi lắm, xác suất trượt cao. Khi đó (1-p) > p. Lúc này, P(X=4) = (1-p)^3 có thể lớn hơn các giá trị khác. Tuy nhiên, nếu p rất nhỏ, P(X=4) sẽ nhỏ, và P(X=1) vẫn là lớn nhất.

Để tổng quát, chúng ta xem xét tỉ lệ:

* P(X=2) / P(X=1) = (1-p) < 1.
* P(X=3) / P(X=2) = (1-p) < 1.
* P(X=4) / P(X=3) = (1-p)/p. Nếu (1-p) > p, tức p < 1/2, thì P(X=4) > P(X=3)..

Nếu không có thông tin về xác suất trúng mục tiêu p, ta không thể xác định chắc chắn Mod[X] bằng bao nhiêu. Tuy nhiên, nếu p gần 1, thì Mod[X] = 1 là hợp lý nhất. Trong các đáp án, 1 là đáp án có khả năng cao nhất.

Vì Y = X^2, nên ta cần tìm xác suất để Y = 1. Điều này xảy ra khi X = 1 hoặc X = -1. Vậy P[Y = 1] = P[X = 1] + P[X = -1] = 0.4 + 0.1 = 0.5.

Để tính phương sai D(2X+1), ta cần sử dụng các công thức sau:

1. D(aX + b) = a^2 * D(X), với a và b là các hằng số.
2. D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2, với E(X) là kỳ vọng của X.

Đầu tiên, ta tính E(X):
E(X) = 1*0,1 + 2*0,4 + 3*0,2 + 4*0,3 = 0,1 + 0,8 + 0,6 + 1,2 = 2,7

Tiếp theo, ta tính E(X^2):
E(X^2) = 1^2*0,1 + 2^2*0,4 + 3^2*0,2 + 4^2*0,3 = 1*0,1 + 4*0,4 + 9*0,2 + 16*0,3 = 0,1 + 1,6 + 1,8 + 4,8 = 8,3

Bây giờ, ta tính D(X):
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 8,3 - (2,7)^2 = 8,3 - 7,29 = 1,01

Cuối cùng, ta tính D(2X+1):
D(2X+1) = 2^2 * D(X) = 4 * 1,01 = 4,04

Vậy, phương sai D(2X+1) là 4,04.