Câu hỏi:

Gọi $L(x)$ là lợi nhuận của doanh nghiệp khi sản xuất $x$ sản phẩm (triệu đồng).
Ta có:

• Doanh thu khi sản xuất $x$ sản phẩm là $(40x - \frac{x^2}{100})$ nghìn đồng, tức là $(40x - \frac{x^2}{100}) / 1000$ triệu đồng.
• Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm là $x(4 + \frac{x}{300})$ nghìn đồng, tức là $x(4 + \frac{x}{300}) / 1000$ triệu đồng.

Vậy, $L(x) = \frac{40x - \frac{x^2}{100}}{1000} - \frac{x(4 + \frac{x}{300})}{1000} = \frac{40x - \frac{x^2}{100} - 4x - \frac{x^2}{300}}{1000} = \frac{36x - \frac{4x^2}{300}}{1000} = \frac{36x - \frac{x^2}{75}}{1000}$.
Ta cần tìm $x$ sao cho $L(x)$ đạt giá trị lớn nhất và $0 \le x \le n$. $L'(x) = \frac{36 - \frac{2x}{75}}{1000}$. Cho $L'(x) = 0$ ta được $36 = \frac{2x}{75}$, suy ra $x = \frac{36 \cdot 75}{2} = 18 \cdot 75 = 1350$.
Theo đề bài, doanh nghiệp dự định sản xuất không quá $n = 1200$ sản phẩm. Vậy, $0 \le x \le 1200$. Ta xét $L(0) = 0$, $L(1200) = \frac{36(1200) - \frac{1200^2}{75}}{1000} = \frac{43200 - \frac{1440000}{75}}{1000} = \frac{43200 - 19200}{1000} = \frac{24000}{1000} = 24$. Tuy nhiên, vì $x = 1350 > 1200$, ta cần xét $L(1200)$ là giá trị lớn nhất. $L(x) = \frac{36x - \frac{x^2}{75}}{1000}$ đạt giá trị lớn nhất khi $x=1200$. $L(1200) = 24$ (triệu đồng).
Nhưng đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của lợi nhuận khi doanh nghiệp dự định sản xuất không quá $n = 300$ sản phẩm. Khi đó $0 \le x \le 300$, $L(300) = \frac{36 \cdot 300 - \frac{300^2}{75}}{1000} = \frac{10800 - \frac{90000}{75}}{1000} = \frac{10800 - 1200}{1000} = \frac{9600}{1000} = 9.6$. $L'(x) = \frac{36 - \frac{2x}{75}}{1000} = 0$ khi $x=1350$. Vì $x < 1350$ nên $L(x)$ tăng khi $x$ tăng. Vậy $L(x)$ lớn nhất khi $x=300$, và $L(300) = 9.6 \approx 10$. Với $n = 150$, $L(150) = \frac{36*150 - \frac{150^2}{75}}{1000} = \frac{5400 - 300}{1000} = 5.1$. Với $n = 300$, Lợi nhuận là: $L(300) = \frac{36*300 - (300^2)/75}{1000} = \frac{10800-1200}{1000} = 9.6$. Khi làm tròn, lợi nhuận lớn nhất là 10 triệu. Với $n = 1200$, $L(1200) = \frac{36(1200) - \frac{1200^2}{75}}{1000} = \frac{43200-19200}{1000} = 24$, Chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm = 4 + x/300, x = 1200, chi phí này là 8. Theo đề, $n = 300$ sản phẩm. Doanh thu là: $40x - x^2/100 = 12000 - 90000/100 = 12000 - 900 = 11100$ nghìn đồng. Chi phí là: $x*(4+x/300) = 300*(4+300/300) = 300*5 = 1500$ nghìn đồng. Lợi nhuận là: $11100 - 1500 = 9600$ nghìn đồng = 9.6 triệu đồng. Nếu $n=150$ sản phẩm Doanh thu = $40*150 - 150^2/100 = 6000 - 225 = 5775$ Chi phí = $150 * (4 + 150/300) = 150 * 4.5 = 675$ Lợi nhuận = $5775 - 675 = 5100 = 5.1 triệu đồng.